我们首先证明$\mathbf{R}$的每个非离散子群在$\mathbf{R}$中都是稠密的。如果$\mathbf{R}$的子群$G$不是离散的，那么对于每个$\varepsilon > 0$，$G$中有点$x \neq 0$，其中属于到区间$[-\varepsilon, +\varepsilon]$；由于 $x$ 属于到 $G$ 的所有整数倍数，$G$ 的长度 $> \varepsilon$ 包含元素的每个区间，因此 $G$ 是稠密的$\mathbf{R}$。

Every closed subgroup of $\mathbf{R}$ other than $\mathbf{R}$ itself is therefore discrete. 还需要证明，除了$\{0\}$之外，$\mathbf{R}$的每个离散子群$G$都是形式$a.\mathbf{Z}$，其中$a > 0$。 现在关系$-G = G$表明$G$中元素$> 0$的集合$H$不为空；如果区间 $[0, b]$ 和 $G$ 的$b \in H$、交是*紧凑且离散的*，因此是*有限的*。 令$a$为$[0, b]$中包含的$H$的最小的元素，并且对于每个$x \in G$放入$m = [x/a]$、$x/a$的整数部分；那么我们就有 $x - ma \in G$ 和 $0 \leq x - ma < a$。 根据 $a$ 的定义，可以得出 $x - ma = 0$，从而得出 $G = a.\mathbf{Z}$。

每个$x \in \mathbf{R}$ 全等 $(\bmod\,1)$ 与区间 $[a, a+1]$中的某个数，*即与* $x - [x-a]$； 因此 $\mathbf{T}$ 是该区间的像在典范映射 $\varphi$ 的 $\mathbf{R}$ 到 $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$，*因此是紧凑且连通的* (章 I, § 9, no. 4，定理 2，并且§ 11, no. 2、命题 4)。 另一方面，区间的两个不同的元素 $[a, a+1]$ 只有在它们是区间的端点时才全等 $(\bmod\,1)$ ；根据 $\mathbf{T}$ 因此得出 $\mathbf{T}$ 与 $[a, a+1]$ 通过识别端点获得的商空间同胚（章 I, § 9, no. 4、定理 2、推论 4，以及§ 10, no. 4、命题 8)。 最后，$\mathbf{Z}$*作为*$\mathbf{R}$、$\mathbf{T} = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$的离散子群*与*$\mathbf{R}$*（章III, § 2, no. 6、命题19）*局部同构*并且特别是局部连接的（最后一个事实也是推论章 I, § 11, no. 6、命题 12)。

对于每个$x \in \mathbf{R}$和每个整数$p \in \mathbf{Z}$，我们有$f(px) = pf(x)$； 替换$x$乘$(1/p)x$，因此

因此，对于所有整数 $p$ 和 $q \neq 0$，我们有

在其他字，$f(rx) = rf(x)$对于所有有理数数$r$。如果现在$t$是任何实数，由于$f$的连续性，我们有

特别是，如果$a = f(1)$我们有$f(t) = at$，并且命题被证明。

因此，拓扑群$\mathbf{R}$的自同构的群同构于非零实数的乘法群$\mathbf{R}^*$。

扩张（如果存在）的唯一性源自前面的注，因为$I$生成群$\mathbf{R}$。我们必须确定这样的扩张的存在。

如果$n$是整数$> 0$并且如果$x \in I$和$nx \in I$，我们有$f(nx) = (f(x))^n$，通过归纳在$n$上（从$mx \in I$对于所有整数$m$这样$1 \leq m \leq n$）。把$J = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} nI$； $J$ 要么是整条线$\mathbf{R}$，要么是$[0, +\infty[$ 或$[-\infty, 0]$ 区间之一，根据$o$ 是否是$I$ 的内部点。如果$x \in J$，只要$n$是足够大整数$> 0$，我们就有$x/n \in I$。令$x \in J$，并令$m, n$是两个整数$> 0$，使得$x/n \in I$和$x/m \in I$；那么$x/mn \in I$，因此

在其他字中，$G$的元素$(f(x/n))^n$对于所有整数$n > 0$都是相同的，因此$x/n \in I$。让我们用$f_1(x)$来表示这个元素； $f_1$是$J$到$G$的映射，它与$I$上的$f$一致，因此在点$o$连续（相对于$J$）。令$x, y$为J的两个元素，并令n为足够大整数 > 0，使得$\frac{x}{n} \in I, \frac{y}{n} \in I$和$\frac{x+y}{n} \in I$；那么

这表明 $f\left( \frac{x}{n} \right)$ 和 $f\left( \frac{y}{n} \right)$ 通勤；通过$f_1$的定义，我们有$f_1(x+y) = f_1(x) f_1(y)$。如果$J = \mathbf{R}$，则证明完整；如果不是，则为 $J = [0, +\infty[$，并且每个 $x < 0$ 定义 $f_1(x)$ 为 $(f_1(-x))^{-1}$。那么关系$f_1(x+y) = f_1(x) f_1(y)$对于所有$x \in \mathbf{R}$和所有$y \in \mathbf{R}$仍然有效。如果$x < 0$和$y < 0$，这很清楚；如果$x \geqslant 0$、$y < 0$和$x + y \geqslant 0$，则从$f_1(x) = f_1(x+y) f_1(-y)$得出；类似地，如果$x \geqslant 0, y < 0$和$x + y < 0$，那么我们有

类似证明对应 $x < 0$ 和 $y \geqslant 0$。因此我们看到$f_1$是G中$\mathbf{R}$的同态，因此G的$f_1(0) = e$，单位元素；由于$f_1$相对于J连续，因此在0处右边有极限，等于$e$；由于$f_1(-x) = (f_1(x))^{-1}$，$f_1$在左侧0处也有极限，等于$e$；因此$f_1$在0处连续，证明是完整的。

令$\overline{f}$为$\mathbf{R}$到G中的连续同态，其中重合与$f$在开区间I的所有点处，其中包含 0且包含在集合中，$f$为定义； $\overline{f}(\mathbf{R})$乘以G的单位元素的假设包含邻域，因此（章III, § 2, no. 1，命题4的推论）是G的开子群； $\overline{f}$ 是 $\mathbf{R}$ 到 $\overline{f}(\mathbf{R})$ 的严格态射，通过章 III, § 2, no. 8、命题 24。

对于$\mathbf{R}$的本地同构和G扩展到$\mathbf{R}$的严格态射到G的开子群（推论到命题6），因此到G本身，因为G是连通的。因此 G 同构于 $\mathbf{R}$ 的商群；由于 G 是 Hausdorff 并且不单独由单位元素组成（因为它与 $\mathbf{R}$ 局部同构），因此它与 $\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{T}$ 同构于命题 3 of no. 2。