习题 7, § 3

令$G$为非离散局部紧致群，其中可数基为开集合，令$V_0$为单位元素$e$为$G$的紧致邻域，其中包含*无$G$ 中除 $\{e\}$ 之外的子群*。

a) 设$(x_n)$为$V_0$的点的序列，收敛于$e$。对于每个$n$，都存在整数$p(n) > 0$，这样每当$k \leq p(n)$和$x_n^{p(n)+1} \notin V_0$时就有$x_n^k \in V_0$，并且我们有$\lim_{n \to \infty} p(n) = +\infty$。证明存在 $(x_n)$ 的子序列 $(x_{k_n})$，使得对于每个有理数 $r$ 和 $|r| \leq 1$，序列 $(x_{k_n}^{\lfloor rp(k_n)\rfloor})$ 在 $V_0$ 中都有极限 $f(r)$（使用对角技术）；如果 $r, r'$ 是有理数数使得 $|r| \leq 1, |r'| \leq 1$ 和 $|r + r'| \leq 1$ 我们有

b) 证明$f$在$\mathbf{Q}$中$0$的邻域连续。 [反证法：如果有理数数有序列$(r_n)$趋向于$0$，并且$f(r_n)$在$V_0$中趋于元素$y \neq e$，则表明对于所有整数我们应该有$y^m \in V_0$ $m$。]

c) 从 b) 推导出$\mathbf{R}$ 到$G$ 存在非平凡连续同态（§ 1 的应用命题 6）。

d) 设$H$是$G$的闭法线子群，而不是$G$本身，并假设$G/H$中有单位元素的邻域，其中包含没有非平凡的子群。证明存在连续同态 $f : \mathbf{R} \to G$ 使得合成

是不平凡的。