Exercice 7, § 3

Soient $G$ un groupe localement compact non discret ayant une base dénombrable d’ensembles ouverts, $V_0$ un voisinage compact de l’élément neutre $e$ de $G$ tel qu’il n’existe aucun sous-groupe de $G$ distinct de $\{e\}$ contenu dans $V_0$.

a) Soit $(x_n)$ une suite de points de $V_0$ qui converge vers $e$. Pour tout $n$, il existe un entier $p(n) > 0$ tel que $x_n^{k} \in V_0$ pour $k \leq p(n)$ et $x_n^{p(n)+1} \notin V_0$, et on a $\lim_{n \to \infty} p(n) = +\infty$. Montrer qu’il existe une suite $(x_{k_n})$ extraite de $(x_n)$ telle que, pour tout nombre rationnel $r$ tel que $|r| \leq 1$, la suite $(x_{k_n}^{[rp(k_n)]})$ ait une limite $f(r)$ dans $V_0$ (utiliser le procédé diagonal); pour deux nombres rationnels $r, r'$ tels que $|r| \geq 1, |r'| \leq 1$ et $|r + r'| \leq 1$, on a $f(r + r') = f(r)f(r')$.

b) Montrer que $f$ est continue dans un voisinage de $0$ dans $\mathbf{Q}$. (Raisonner par l’absurde: s’il existait une suite $(r_n)$ de nombres rationnels tendant vers $0$ et telle que $f(r_n)$ tende vers un élément $y \neq e$ dans $V_0$, prouver que l’on aurait $y^m \in V_0$ pour tout entier $m$.)

c) Déduire de b) qu’il existe un homomorphisme continu de $\mathbf{R}$ dans $G$ non trivial (utiliser la prop. 6 de V, p. 3).

d) Soit H un sous-groupe fermé distingué de G, distinct de G, et supposons que G/H soit non discret, et que dans G/H il existe un voisinage de l’élément neutre ne contenant aucun sous-groupe non trivial. Montrer qu’il existe un homomorphisme continu $f : \mathbf{R} \to G$ telle que l’homomorphisme composé $\mathbf{R} \xrightarrow{f} G \to G/H$ soit non trivial.