习题 9, § 4

设$(r_n)_{n \geq 1}$为数属于到$\mathbf{R}$的区间$I = [0, 1]$的不同有理数属于的序列，排列在一些阶中。 定义乘闭区间$I_n \subset I$的归纳序列，如下：$I_n$以点$r_{k_n}$为中点，最小的指标不包含在$\bigcup_{p < n} I_p$中；它的长度是 $\leq 1/4^n$ 并且不满足 $p < n$ 的区间 $I_p$；因此$(I_n)$是序列互为不相交的闭区间。 在乘积空间$I \times \mathbf{R}$，我们定义一个连续实值函数$u$如下：对于每个整数$n \geq 1$，函数$x \to u(x, n)$在内部点等于1 $I_n$的，在$I_n$的外部等于0并在$[0, 1]$取其值；另一方面，对于每个 $x \in I$，函数 $y \to u(x, y)$ 在每个区间 $[n, n+1]$ 中都是仿射线性的。 证明$u$不能由形式$v(x)w(y)$的函数线性组合统一逼近于$I \times \mathbf{R}$，其中$v$在$I$上连续且$w$在$\mathbf{R}$上连续且有界。 [在$\mathbf{R}$上连续有界实值函数的空间$C^\infty(\mathbf{R}; \mathbf{R})$中，将部分函数$y \to u(x, y)$的集合视为$x$贯穿$I$；表明存在无限个函数序列 $(u_n)$，使得只要 $m \neq n$ 就有$\|u_n\| = 1$ 和 $\|u_m - u_n\| = 1$。 推出$C^\infty(\mathbf{R}; \mathbf{R})$存在不能任意有限维向量子空间$E$使得每个$u_n$到$E$的距离为$\leq 1/4$；否则，将存在$E$的点的序列$(v_n)$，使得每当$m \neq n$时，$\|v_n\| = 2$和$\|v_n - v_m\| \geq 1/2$，与$C^\infty(\mathbf{R}; \mathbf{R})$的每个有限维子空间都是局部紧凑的事实相反。] \*