Exercice 9, § 4

Soit (r_n)_{n ≥ 1} la suite des nombres rationnels distincts appartenant à l’intervalle I = [0, 1] de R, rangés dans un certain ordre. On définit par récurrence une suite d’intervalles fermés I_n ⊂ I de la façon suivante: I_n a pour milieu le point r_{k_n} de plus petit indice non contenu dans la réunion des intervalles I_p d’indice p < n; il a une longueur ≤ 1/4^n et ne rencontre aucun des I_p d’indice p < n; les I_n forment donc une suite d’intervalles fermés deux à deux disjoints. Dans l’espace produit I × R, on définit une fonction numérique continue u de la façon suivante: pour tout entier n ≥ 1, la fonction x ↦ u(x, n) est égale à 1 en un point intérieur à I_n, à 0 en tout point extérieur à I_n et prend ses valeurs dans {0, 1}; d’autre part, pour chaque x ∈ I, la fonction y ↦ u(x, y) est linéaire affine dans chacun des intervalles [n, n + 1]. Montrer que u ne peut être approchée uniformément dans I × R par une combinaison linéaire de fonctions de la forme v(x)w(y), où v est continue dans I et w continue et bornée dans R. (Considérer, dans l’espace $C^b(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ des fonctions continues et bornées dans R, l’ensemble des fonctions partielles y ↦ u(x, y) lorsque x parcourt I; montrer qu’il existe une suite infinie (u_n) de ces fonctions telle que \|u_n\| = 1 et \|u_m - u_n\| = 1 pour m ≠ n. En déduire qu’il ne saurait exister un sous-espace vectoriel E de $C^b(\mathbf{R}; \mathbf{R})$, de dimension finie, tel que chacun des u_n soit à une distance ≤ 1/4 de ce sous-espace; sans quoi, il existerait une suite (v_n) de points de E telle que \|v_n\| = 2 et \|v_n - v_m\| ≥ 1/2 pour m ≠ n, contrairement au fait que tout sous-espace de dimension finie de $C^b(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ est localement compact).*