Bài tập 9, § 4

Cho $(r_n)_{n \geq 1}$ là dãy các số hữu tỉ phân biệt thuộc khoảng $I = [0, 1]$ của $\mathbf{R}$, được sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Định nghĩa bằng quy nạp một dãy các khoảng đóng $I_n \subset I$, như sau: $I_n$ có điểm giữa là điểm $r_{k_n}$ với chỉ số nhỏ nhất không được chứa trong $\bigcup_{p < n} I_p$; độ dài của nó là $\leq 1/4^n$ và nó không gặp bất kỳ khoảng $I_p$ nào với $p < n$; $(I_n)$ do đó là một dãy các khoảng đóng rời nhau từng đôi một. Trên không gian tích $I \times \mathbf{R}$ ta định nghĩa một hàm thực liên tục $u$ như sau: với mỗi số nguyên $n \geq 1$, hàm $x \to u(x, n)$ bằng 1 tại một điểm trong của $I_n$, bằng 0 ở ngoài $I_n$ và nhận các giá trị của nó trong $[0, 1]$; mặt khác, với mỗi $x \in I$, hàm $y \to u(x, y)$ là affine-tuyến tính trong mỗi khoảng $[n, n+1]$. Chứng minh rằng $u$ không thể được xấp xỉ đều trong $I \times \mathbf{R}$ bởi các tổ hợp tuyến tính của các hàm có dạng $v(x)w(y)$, trong đó $v$ liên tục trên $I$ và $w$ liên tục và bị chặn trên $\mathbf{R}$. [Trong không gian $C^\infty(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ của các hàm thực liên tục bị chặn trên $\mathbf{R}$, xét tập hợp các hàm riêng phần $y \to u(x, y)$ khi $x$ chạy qua $I$; chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn $(u_n)$ gồm các hàm này sao cho $\|u_n\| = 1$ và $\|u_m - u_n\| = 1$ bất cứ khi nào $m \neq n$. Suy ra rằng không thể tồn tại một không gian con vectơ hữu hạn chiều $E$ của $C^\infty(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ sao cho khoảng cách từ mỗi $u_n$ đến $E$ là $\leq 1/4$; vì nếu không thì sẽ tồn tại một dãy $(v_n)$ các điểm của $E$ sao cho $\|v_n\| = 2$ và $\|v_n - v_m\| \geq 1/2$ bất cứ khi nào $m \neq n$, trái với sự kiện rằng mọi không gian con hữu hạn chiều của $C^\infty(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ đều compact địa phương.] \*