习题 13, § 4

令 $X$ 为紧致空间，令 $A$ 表示规范化的代数 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$。对于$A$的每个子集$M$，令$V(M)$表示所有$x \in X$的集合，使得$u(x) = 0$代表所有$u \in M$。对于$X$的每个子集$Y$，让$\mathfrak{J}(Y)$表示所有$u \in A$的集合，这样$u(x) = 0$代表所有$x \in Y$。

a) $V(M)$ 是$X$ 的封闭子空间，$\mathfrak{J}(Y)$ 是$A$ 的封闭理想。如果$a$是$A$的子集$M$生成的$A$的理想，则$V(M) = V(a)$； $V$和$I$是顺序颠倒的映射（相对于包含的序关系），$A$的每一个单位$u$都有$V\{0\} = X; \ V(A) = \varnothing; \ V(\{u\}) = \varnothing$；

对于每个家庭$(M_\lambda)_{\lambda \in L}$子集$A$； $V(M.M') = V(M) \cup V(M')$； $\mathfrak{J}(X) = \{0\}; \ \mathfrak{J}(\mathscr{C}) = A; \ \mathfrak{J}\left( \bigcup_{\lambda \in L} Y_\lambda \right) = \bigcap_{\lambda \in L} \mathfrak{J}(Y_\lambda)$为每个家庭$(Y_\lambda)_{\lambda \in L}$子集$X$。

b) 证明如果$a$是$A$的任意理想，则$\mathfrak{J}(V(a)) = \overline{a}$，并且如果$Y$是$X$的任意子集，则$V(\mathfrak{J})(Y) = \overline{Y}$。 （对于第一个关系，观察$V(\overline{a}) = V(a)$，因此我们可以假设$a$闭合；注，如果$x, y$是$X - V(a)$的两个不同的点，则存在$u \in a$使得$u(x) \neq u(y)$和应用命题 no. 2 中的 4 个。要证明第二个关系，请使用 Urysohn 的定理。）

c) 从b)推导出$x \to \mathfrak{J}(\{x\})$是$X$的双射到$A$最大理想的集合，因此是封闭的。当且仅当最大理想为交时，$A$ 的理想是封闭的。 环 $A$ 没有部首。

d) 证明映射$e \to V(\{e\})$是$A$的集合的双射到$X$的子集的集合，它们都是开闭的。

当且仅当最大理想 $\mathfrak{J}(\{x\})$ 为主时，点 $x \in X$ 是孤立的。