Exercice 13, § 4

Soient $X$ un espace compact, $A$ l’algèbre normée $C(X; \mathbf{R})$. Pour toute partie $M$ de $A$, on désigne par $V(M)$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $u(x) = 0$ pour tout $u \in M$. Pour toute partie $Y$ de $X$, on désigne par $\mathfrak{F}(Y)$ l’ensemble des $u \in A$ tels que $u(x) = 0$ dans $Y$.

a) $V(M)$ est un sous-espace fermé de $X$, $\mathfrak{F}(Y)$ un idéal fermé de $A$. Si $a$ est l’idéal de $A$ engendré par une partie $M$ de $A$, $V(M) = V(a)$; $V$ et $\mathfrak{F}$ sont des applications décroissantes pour la relation d’inclusion, et on a $V(\{0\}) = X$, $V(A) = \varnothing$, $V(\{u\}) = \varnothing$ pour tout élément inversible $u$ de $A$, $V\left( \bigcup_{\lambda \in L} M_\lambda \right) = V\left( \sum_{\lambda \in L} M_\lambda \right) = \bigcup_{\lambda \in L} V(M_\lambda)$ pour toute famille $(M_\lambda)_{\lambda \in L}$ de parties de $A$, $V(M.M') = V(M) \cup V(M')$; $\mathfrak{F}(X) = \{0\}$, $\mathfrak{F}(\varnothing) = A$, $\mathfrak{F}\left( \bigcup_{\lambda \in L} Y_\lambda \right) = \bigcap_{\lambda \in L} \mathfrak{F}(Y_\lambda)$ pour toute famille $(Y_\lambda)_{\lambda \in L}$ de parties de $X$.

b) Montrer que pour tout idéal $a$ de $A$, on a $\mathfrak{F}(V(a)) = \overline{a}$, et pour toute partie $Y$ de $X$, $V(\mathfrak{F}(Y)) = \overline{Y}$. (Pour démontrer la première égalité, observer que $V(\overline{a}) = V(a)$ et qu’on peut donc supposer $a$ fermé; remarquer que si $x, y$ sont deux points distincts de $X - V(a)$, il existe $u \in a$ tel que $u(x) \neq u(y)$ et utiliser la prop. 4 de $X$, p. 37. Pour prouver la seconde égalité, utiliser le th. d’Urysohn).

c) Déduire de b) que $x \mapsto \mathscr{F}(\{x\})$ est une bijection de $X$ sur l’ensemble des idéaux maximaux de $A$, qui sont donc fermés. Pour qu’un idéal de $A$ soit fermé, il faut et il suffit qu’il soit intersection d’idéaux maximaux. L’anneau $A$ est sans radical (A, VIII, § 6, n° 3). d) Monter que l’application $e \mapsto V(\{e\})$ est une bijection de l’ensemble des idempotents de $A$ sur l’ensemble des parties à la fois ouvertes et fermées de $X$. Pour qu’un point $x \in X$ soit isolé, il faut et il suffit que l’idéal maximal $\mathscr{F}(\{x\})$ soit principal.