Bài tập 13, § 4

Cho $X$ là một không gian compact và ký hiệu $A$ là đại số định chuẩn $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$. Với mỗi tập con $M$ của $A$, ký hiệu $V(M)$ là tập hợp tất cả các $x \in X$ sao cho $u(x) = 0$ với mọi $u \in M$. Với mỗi tập con $Y$ của $X$, ký hiệu $\mathfrak{J}(Y)$ là tập hợp tất cả các $u \in A$ sao cho $u(x) = 0$ với mọi $x \in Y$.

a) $V(M)$ là một không gian con đóng của $X$ và $\mathfrak{J}(Y)$ là một iđêan đóng của $A$. Nếu $a$ là iđêan của $A$ sinh bởi một tập con $M$ của $A$, thì $V(M) = V(a)$; $V$ và $I$ là các ánh xạ đảo quan hệ thứ tự (đối với quan hệ thứ tự bao hàm), và ta có $V\{0\} = X; \ V(A) = \varnothing; \ V(\{u\}) = \varnothing$ với mọi phần tử khả nghịch $u$ của $A$;

với mọi họ $(M_\lambda)_{\lambda \in L}$ các tập con của $A$; $V(M.M') = V(M) \cup V(M')$; $\mathfrak{J}(X) = \{0\}; \ \mathfrak{J}(\mathscr{C}) = A; \ \mathfrak{J}\left( \bigcup_{\lambda \in L} Y_\lambda \right) = \bigcap_{\lambda \in L} \mathfrak{J}(Y_\lambda)$ với mọi họ $(Y_\lambda)_{\lambda \in L}$ các tập con của $X$.

b) Chứng minh rằng nếu $a$ là một iđêan bất kỳ của $A$, thì $\mathfrak{J}(V(a)) = \overline{a}$, và nếu $Y$ là một tập con bất kỳ của $X$, thì $V(\mathfrak{J})(Y) = \overline{Y}$. (Đối với quan hệ thứ nhất trong các quan hệ này, nhận xét rằng $V(\overline{a}) = V(a)$ và do đó ta có thể giả sử rằng $a$ đóng; chú ý rằng nếu $x, y$ là hai điểm phân biệt của $X - V(a)$, tồn tại $u \in a$ sao cho $u(x) \neq u(y)$, và sử dụng Mệnh đề 4 của no. 2. Để chứng minh quan hệ thứ hai, sử dụng định lý Urysohn.)

c) Suy ra từ b) rằng $x \to \mathfrak{J}(\{x\})$ là một song ánh của $X$ lên tập hợp các iđêan cực đại của $A$, do đó chúng là đóng. Một iđêan của $A$ là đóng khi và chỉ khi nó là một giao của các iđêan cực đại. Vành $A$ không có căn.

d) Chứng minh rằng ánh xạ $e \to V(\{e\})$ là một song ánh của tập hợp các phần tử lũy đẳng của $A$ lên tập hợp các tập con của $X$ vừa mở vừa đóng.

Một điểm $x \in X$ là cô lập khi và chỉ khi iđêan cực đại $\mathfrak{J}(\{x\})$ là chính.