习题 27, § 3

令$X$为豪斯多夫均匀空间，令$G$为$X$同胚的等连续群。

a) 如果$x_0$的轨道相对于$G$在$X$中相对紧凑，则点$x_0 \in X$相对于$G$几乎是周期性的。令$Y$为$X$中轨道的（紧凑）闭包；那么 $u(Y) \subset Y$ 对于所有 $u \in G$。令$\tilde{u}$为$u$中的限制到$Y$视为$\mathscr{C}(Y; Y)$中的元素；证明$\tilde{u}$是$Y$自身的同态，并且在映射$u \to \tilde{u}$下$G$的像的$\mathscr{C}_u(Y; Y)$中的闭包$\Gamma$是同态的紧群 （no. 6，定理 4，推论）在 $Y$ 上具有传递性。

b) 假设 X 是完备的。那么$x_0$相对于G几乎是周期性的当且仅当，对于X中$x_0$的每个邻域V，存在元素$u_i \in G$的有限数，这样，对于所有$u \in G$，我们有$u_i^{-1}(u(x_0)) \in V$ 至少一个指标 i。

c) 假设$x_0$几乎是周期性的，并且G被赋予与其群结构兼容的拓扑。对于a)的记号，G的映射$u \to \bar{u}$到$\Gamma$（赋予均匀收敛的拓扑）是连续的当且仅当，对于Y的不同点$x, y$的每个对，存在e的邻域U在 G 和 y 的邻域 V 中，关系 $u \in U$ 蕴含 $u(x) \notin V$ [利用由 $C_u(Y; Y)$ 和 $C_s(Y; Y)$ 在 $\Gamma$ 上导出的拓扑是相同的事实]。