Exercice 27, § 3

Soient $X$ un espace uniforme séparé, $G$ un groupe équicontinu d’homéomorphismes de $X$. a) On dit qu’un point $x_0 \in X$ est presque périodique pour $G$ si l’orbite de $x_0$ pour $G$ est relativement compacte dans $X$. Soit $Y$ l’adhérence (compacte) de cette orbite dans $X$ ; on a $u(Y) \subset Y$ pour tout $u \in G$. Soit $\tilde{u}$ la restriction de $u$ à $Y$ considérée comme élément de $\mathscr{C}(Y; Y)$ ; montrer que $\tilde{u}$ est un homéomorphisme de $Y$ sur lui-même, et que l’adhérence $\Gamma$ dans $\mathscr{C}_u(Y; Y)$ de l’image de $G$ par l’application $u \mapsto \tilde{u}$ est un groupe compact d’homéomorphismes ($X$, p. 32, corollaire), transitif dans $Y$. b) On suppose $X$ complet ; pour que $x_0$ soit presque périodique pour $G$, il faut et il suffit que pour tout voisinage $V$ de $x_0$ dans $X$, il existe un nombre fini d’éléments $u_i \in G$ tels que, pour tout $u \in G$, on ait $u_i^{-1}(u(x_0)) \in V$ pour un $i$ au moins. c) On suppose $x_0$ presque périodique et $G$ muni d’une topologie compatible avec sa structure de groupe ; on garde les notations de a). Pour que l’application $u \mapsto \tilde{u}$ de $G$ dans $\Gamma$ (ce dernier étant muni de la topologie de la convergence uniforme) soit continue, il faut et il suffit que pour tout couple de points distincts $x, y$ de $Y$, il existe un voisinage $U$ de $e$ dans $G$ et un voisinage V de y tel que la relation u ∈ U entraîne u(x) ∉ V (utiliser le fait que sur Γ les topologies induites par celles de $\mathscr{C}_u(Y; Y)$ et de $\mathscr{C}_s(Y; Y)$ sont les mêmes).