Bài tập 27, § 3

Cho $X$ là một không gian đều Hausdorff và cho $G$ là một nhóm các tự đồng phôi đều liên tục của $X$.

a) Một điểm $x_0 \in X$ được gọi là gần tuần hoàn đối với $G$ nếu quỹ đạo của $x_0$ đối với $G$ là tương đối compact trong $X$. Cho $Y$ là bao đóng (compact) của quỹ đạo này trong $X$; khi đó $u(Y) \subset Y$ với mọi $u \in G$. Gọi $\tilde{u}$ là hạn chế của $u$ lên $Y$ được xem như một phần tử của $\mathscr{C}(Y; Y)$; hãy chứng minh rằng $\tilde{u}$ là một đồng phôi của $Y$ lên chính nó và rằng bao đóng $\Gamma$ trong $\mathscr{C}_u(Y; Y)$ của ảnh của $G$ qua ánh xạ $u \to \tilde{u}$ là một nhóm compact các đồng phôi (no. 6, Định lý 4, Hệ quả) bắc cầu trên $Y$.

b) Giả sử rằng X là đầy đủ. Khi đó $x_0$ là gần tuần hoàn đối với G khi và chỉ khi, với mỗi lân cận V của $x_0$ trong X, có một số hữu hạn các phần tử $u_i \in G$ sao cho, với mọi $u \in G$, ta có $u_i^{-1}(u(x_0)) \in V$ với ít nhất một chỉ số i.

c) Giả sử rằng $x_0$ là gần tuần hoàn và rằng G được trang bị một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm của nó. Với ký hiệu của a), ánh xạ $u \to \bar{u}$ của G vào $\Gamma$ (được trang bị tôpô hội tụ đều) là liên tục khi và chỉ khi, với mỗi cặp các điểm phân biệt $x, y$ của Y, có một lân cận U của e trong G và một lân cận V của y sao cho quan hệ $u \in U$ kéo theo $u(x) \notin V$ [sử dụng tính chất các tôpô cảm sinh trên $\Gamma$ bởi các tôpô của $C_u(Y; Y)$ và $C_s(Y; Y)$ là giống nhau].