习题 19, § 3

令 $H$ 为一致空间 $X$ 的同胚的等连续群；赋予拓扑逐点收敛性，$H$是拓扑群（no. 5，命题10的推论）。

a) 证明$H$ 上的左均匀性比逐点收敛的均匀性更细更细，并且如果$H$ 一致等连续，则这两个均匀性重合。

b) 令$u$为实直线$\mathbf{R}$的同态，由$x \leqslant 0$的$u(x) = x + 1$、$x \geqslant 0$的$u(x) = x + 1/(x + 1)$定义。令$H$为$\mathbf{R}$所有同胚的群中由$u$生成的子群。证明$H$是等连续的并且相对于点向收敛的拓扑是离散的，但$H$上点向收敛的均匀性不是离散均匀性（观察极限$u^{n+1}(x) - u^n(x)$为0，因为$n$趋向于$+\infty$）。

c) 取$X$为自然整数的离散空间$\mathbf{N}$，赋予度量$d$使得每当$m \neq n$时$d(m, n) = 1$，并取$H$为群的等距$\mathbf{N}$，一致等连续。证明通过赋予 $H$ 点式收敛的拓扑所获得的拓扑群不具有完备性 [与习题 16 b) 中的方法相同]。

d) 假设 $X$ 是 Hausdorff 且完备的，且 $H$ 一致等连续。证明$H$上的柯西滤波器关于拓扑群$H$的两侧均匀性收敛于空间$\mathscr{F}_s(X; X)$；它们的极限点的集合$H'$是$X$同胚的一致等连续群，它（赋予点向收敛的拓扑）就其两侧均匀性而言是完全的；并且$H$在$H'$中是稠密的。