Bài tập 19, § 3

Cho $H$ là một nhóm các đồng phôi đẳng liên tục của một không gian đều $X$; được trang bị tôpô hội tụ điểm, $H$ là một nhóm tôpô (no. 5, Hệ quả của Mệnh đề 10).

a) Chứng minh rằng cấu trúc đều trái trên $H$ mịn hơn cấu trúc đều hội tụ điểm và rằng hai cấu trúc đều này trùng nhau nếu $H$ đẳng liên tục đều.

b) Cho $u$ là phép đồng phôi của đường thẳng thực $\mathbf{R}$ được xác định bởi $u(x) = x + 1$ với $x \leqslant 0$, $u(x) = x + 1/(x + 1)$ với $x \geqslant 0$. Cho $H$ là nhóm con sinh bởi $u$ trong nhóm gồm tất cả các phép đồng phôi của $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng $H$ là liên tục đều và là rời rạc đối với tôpô hội tụ điểm, nhưng rằng tính đều của hội tụ điểm trên $H$ không phải là tính đều rời rạc (nhận xét rằng giới hạn $u^{n+1}(x) - u^n(x)$ là 0 khi $n$ tiến tới $+\infty$).

c) Lấy $X$ là không gian rời rạc $\mathbf{N}$ của các số nguyên tự nhiên, được trang bị mêtric $d$ sao cho $d(m, n) = 1$ khi $m \neq n$, và lấy $H$ là nhóm các đẳng cự của $\mathbf{N}$, nhóm này liên tục đều một cách đều. Chứng minh rằng nhóm tôpô thu được bằng cách trang bị cho $H$ tôpô hội tụ điểm không có bao đầy đủ [cùng phương pháp như trong Bài tập 16 b)].

d) Giả sử rằng $X$ là Hausdorff và đầy đủ và rằng $H$ liên tục đều một cách đều. Chứng minh rằng các lọc Cauchy trên $H$ đối với tính đều hai phía của nhóm tôpô $H$ hội tụ trong không gian $\mathscr{F}_s(X; X)$; rằng tập $H'$ các điểm giới hạn của chúng là một nhóm các phép đồng phôi của $X$ liên tục đều một cách đều, nhóm này (được trang bị tôpô hội tụ điểm) là đầy đủ đối với tính đều hai phía của nó; và rằng $H$ trù mật trong $H'$.