Exercice 19, § 3

Soit $H$ un groupe équicontinu d’homéomorphismes d’un espace uniforme $X$; muni de la topologie de la convergence simple, $H$ est un groupe topologique ($X$, p. 30, corollaire). a) Montrer que la structure uniforme gauche de $H$ est plus fine que la structure uniforme de la convergence simple, et que ces deux structures sont identiques lorsque $H$ est uniformément équicontinu. b) Soit $u$ l’homéomorphisme de la droite numérique $\mathbf{R}$, défini par $u(x) = x + 1$ pour $x \leqslant 0$, $u(x) = x + \frac{1}{(x + 1)}$ pour $x \geqslant 0$. Soit $H$ le groupe monogène engendré par $u$ (dans le groupe de tous les homéomorphismes de $\mathbf{R}$). Montrer que $H$ est un groupe équicontinu, discret pour la topologie de la convergence simple, mais que sur $H$ la structure uniforme de la convergence simple est distincte de la structure uniforme discrète (remarquer que $u^{n+1}(x) - u^n(x)$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$). c) On prend pour espace uniforme $X$ l’espace discret $\mathbf{N}$ des entiers naturels, muni de la distance égale à 1 pour tout couple d’entiers distincts, et pour $H$ le groupe des isométries de $\mathbf{N}$, qui est uniformément équicontinu. Montrer que le groupe topologique obtenu en munissant $H$ de la topologie de la convergence simple ne peut être complété (même méthode que dans $X$, p. 50, exerc. 16 b). d) On suppose que l’espace $X$ est séparé et complet et que $H$ est uniformément équicontinu. Montrer que les filtres de Cauchy sur $H$ pour la structure uniforme bilatère du groupe topologique $H$ convergent dans l’espace $\mathscr{F}_s(X; X)$, et que l’ensemble $H'$ de leurs points limites est un groupe uniformément équicontinu d’homéomorphismes de $X$, qui (lorsqu’il est muni de la topologie de la convergence simple) est complet pour sa structure uniforme bilatère, et dans lequel H est dense.