习题 13, § 2

a) 在实数的集合$\mathbf{R}$上，考虑拓扑$\mathscr{T}$定义如下：对于每个$y > 0$，$U_y(x)$表示区间$[x, x + y[$和$] - x - y, - x[$的并； $\mathscr{T}$是拓扑，其中$U_y(x)$形式是$x$的邻域的基本系统，因为$y$贯穿实数$> 0$的集合。令$X$为空间，该空间是通过将$\mathscr{T}$诱导的拓扑赋予区间$[-1, +1]$而获得的。证明 $X$ 是紧的。 （考虑$X$上的过滤器$\mathfrak{F}$；如果$x \in X$是$\mathfrak{F}$的点相对于实直线的拓扑，则表明$x$或$-x$是点的集群$\mathfrak{F}$相对于$\mathscr{T}$。）

b) $X$的每个点都有邻域的可数基数系统，$X$有可数稠密子集，但$X$不可度量（表明它的拓扑没有可数基）。

c) 令$A$为$X$的开子集。证明$A$是$[0, 1]$所包含的开区间可数族$(I_n)$的并，区间$I_n$和$-I_n$的左手点的集合的区间$-I_n$、子集，并且可能点$+1$。因此证明$A$是$X$的封闭子集的可数族的并。

d) 令$Y$为集合$I \times \{1, 2\}$，其中$I$为$\mathbf{R}$的区间$[0, 1]$；让$X_i$表示$I \times \{i\}$（$i = 1, 2$），让$f$表示$X_1$到$X_2$的双射$(x, 1) \to (x, 2)$。 对于每个$x \in I$，让$\mathscr{B}((x, 2))$仅表示$\{(x, 2)\}$的子集由……组成的集合，让$\mathscr{B}((x, 1))$表示形式$V_1 \cup (f(V_1) - \{x, 2\})$的子集的集合，其中$V_1 = V \times \{1\}$和$V$贯穿$I$中$x$的邻域的基本系统。 证明对于每个$y \in Y$，$\mathscr{B}(y)$ 是$Y$ 上拓扑的邻域的基本系统或$y$。 有了这个拓扑，$Y$是紧的，$Y$的每个点都有一个邻域的可数基本系统，但是$Y$没有可数的稠密子集。 $X_2$ 中包含的$Y$ 的每个闭子集都是有限的；因此证明$Y$的紧致子集$X_1$没有邻域的可数基本系统。 如果$R$是$Y$上的等价关系，其中类是集合$X_1$和$Y - X_1$的点，则$R$是闭的，并且每个等价类模$R$都是紧的，但是有$Y/R$ 中的点没有邻域的可数基本系统 [cf. § 4, 习题 24 a)]。