Exercice 13, § 2

a) Soit $X$ un espace topologique accessible (I, p. 100, exerc. 1). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: $\alpha$ toute suite de points de $X$ possède une valeur d’adhérence; $\beta$ tout sous-espace infini discret de $X$ est non fermé; $\gamma$ tout recouvrement ouvert dénombrable de $X$ contient un recouvrement ouvert fini de $X$; $\delta$ pour tout recouvrement ouvert infini $\mathscr{R}$ de $X$, il existe un recouvrement ouvert $\mathscr{S} \subset \mathscr{R}$ de $X$, distinct de $\mathscr{R}$.

On dit qu’un espace topologique $X$ est semi-compact s’il est séparé et s’il possède les propriétés précédentes.

b) Pour qu’une suite de points d’un espace semi-compact soit convergente, il faut et il suffit qu’elle ait une seule valeur d’adhérence.

c) Dans un espace semi-compact, tout sous-espace fermé est semi-compact. Réciproquement, si $X$ est séparé et si tout point de $X$ possède un système fondamental dénombrable de voisinages, tout sous-espace semi-compact de $X$ est fermé dans $X$.

d) Soit $f$ une application continue d’un espace semi-compact $X$ dans un espace séparé $Y$; l’image $f(X)$ est un sous-espace semi-compact de $Y$.

e) Soit $X$ un espace semi-compact, dont tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages; pour toute suite $(x_n)$ de points de $X$, il existe une suite convergente extraite de $(x_n)$.

f) Soit $(X_n)$ une suite dénombrable d’espaces topologiques dans chacun desquels tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages. Pour que l’espace produit $\prod_{n=1}^{\infty} X_n$ soit semi-compact, il faut et il suffit que chacun des espaces $X_n$ soit semi-compact (utiliser e) et l’exerc. 16 de I, p. 98.

g) Un espace semi-compact dont tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages est régulier.

h) Si un espace semi-compact a une base dénombrable, il est compact, et par suite métrisable.

i) Toute fonction numérique semi-continue inférieurement dans un espace semi-compact atteint sa borne inférieure; en particulier, tout espace semi-compact est weierstrassien (IX, p. 88, exerc. 20) (cf. IX, p. 89, exerc. 21).

j) Montrer que la propriété δ) de a) entraîne la suivante:

ζ) tout recouvrement ouvert ponctuellement fini (c’est-à-dire tel que tout point n’appartienne qu’à un nombre fini d’ensembles du recouvrement) de X contient un recouvrement ouvert fini de X.

(Raisonner par l’absurde). Inversement, si un espace régulier possède la propriété ζ), il est semi-compact (montrer que ζ) entraîne alors β)).