Bài tập 13, § 2

a) Trên tập hợp $\mathbf{R}$ các số thực, xét tôpô $\mathscr{T}$ được xác định như sau: với mỗi $y > 0$, $U_y(x)$ chỉ hợp của các khoảng $[x, x + y[$ và $] - x - y, - x[$; $\mathscr{T}$ là tôpô mà các $U_y(x)$ tạo thành một hệ cơ sở lân cận của $x$ khi $y$ chạy qua tập hợp các số thực $> 0$. Cho $X$ là không gian thu được bằng cách trang bị cho khoảng $[-1, +1]$ tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}$. Chứng minh rằng $X$ là compact. (Xét một bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$; nếu $x \in X$ là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$ đối với tôpô của đường thẳng thực, chứng minh rằng hoặc $x$ hoặc $-x$ là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$ đối với $\mathscr{T}$.)

b) Mọi điểm của $X$ đều có một hệ lân cận cơ bản đếm được, và $X$ có một tập con trù mật đếm được, nhưng $X$ không khả mêtric (chứng minh rằng tôpô của nó không có cơ sở đếm được).

c) Cho $A$ là một tập con mở của $X$. Chứng minh rằng $A$ là hợp của một họ đếm được $(I_n)$ các khoảng mở được chứa trong $[0, 1]$, các khoảng $-I_n$, một tập con của tập hợp các điểm bên trái của các khoảng $I_n$ và $-I_n$, và có thể cả điểm $+1$. Từ đó chứng minh rằng $A$ là hợp của một họ đếm được các tập con đóng của $X$.

d) Cho $Y$ là tập hợp $I \times \{1, 2\}$, trong đó $I$ là khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$; ký hiệu $X_i$ là $I \times \{i\}$ ($i = 1, 2$) và ký hiệu $f$ là song ánh $(x, 1) \to (x, 2)$ của $X_1$ lên $X_2$. Với mỗi $x \in I$, ký hiệu $\mathscr{B}((x, 2))$ là tập hợp các tập con chỉ gồm $\{(x, 2)\}$, và ký hiệu $\mathscr{B}((x, 1))$ là tập hợp các tập con có dạng $V_1 \cup (f(V_1) - \{x, 2\})$, trong đó $V_1 = V \times \{1\}$ và $V$ chạy qua một hệ cơ bản các lân cận của $x$ trong $I$. Chứng minh rằng với mỗi $y \in Y$, $\mathscr{B}(y)$ là một hệ cơ bản các lân cận của $y$ cho một tôpô trên $Y$. Được trang bị tôpô này, $Y$ là compact và mọi điểm của $Y$ đều có một hệ cơ bản đếm được các lân cận, nhưng $Y$ không có tập con trù mật đếm được. Mọi tập con đóng của $Y$ được chứa trong $X_2$ đều hữu hạn; từ đó chứng minh rằng tập con compact $X_1$ của $Y$ không có hệ cơ bản đếm được các lân cận. Nếu $R$ là quan hệ tương đương trên $Y$ mà các lớp của nó là tập hợp $X_1$ và các điểm của $Y - X_1$, thì $R$ là đóng và mọi lớp tương đương mod $R$ là compact, nhưng có một điểm trong $Y/R$ không có hệ cơ bản đếm được các lân cận [xem § 4, Bài tập 24 a)].