a) 如果 $f$ 和 $g$ 打开（或关闭），则 $g \circ f$ 也打开。

b) 如果 $g \circ f$ 开（或闭）并且 $f$ 是连续且满射的，则 $g$ 是开（或闭）。

c) 如果 $g \circ f$ 开（或闭）并且 $g$ 是连续且单射的，则 $f$ 是开（或闭）。

从定义 1.a) 开始，紧随其后。证明 b) 注 $X'$ 的每个开（或闭）子集 $A'$ 都可以写成 $f(A)$，其中 $A = f^{-1}(A')$ 在 $X$ 中开（或闭）（§ 2, no. 1，定理 1）；因此$g(A') = g(f(A))$在$X''$中打开（或关闭）。最后，为了证明c)，我们对$X$的每一个子集$A$都有注$f(A) = g^{-1}(g(f(A)))$；到假设，如果$A$在$X$打开（或关闭），则$g(f(A))$在$X''$打开（或关闭），因此$f(A)$在$X'$通过§ 2, no. 1，定理打开（或关闭） 1.

a) 如果 $f$ 打开（或关闭），则 $f_T$ 打开（或关闭）。

b) 设$(T(i))_{i \in I}$是$Y$的子集族，其内部覆盖$Y$，或者是$Y$的局部有限封闭覆盖；如果所有 $f_{T(i)}$ 都打开（或关闭），则 $f$ 也打开（或关闭）。

a) 如果 $A$ 是 $f^{-1}(T)$ 的开（或闭）子集，则存在 $X$ 的开（或闭）子集 $B$，使得 $A = B \cap f^{-1}(T)$，因此 f_T(A) = f(B) \cap T；在假设时，$f(B)$ 打开（或关闭），因此 $f_T(A)$ 在 $T$ 打开（或关闭）。

b) 令$B$为$X$的开（或闭）子集，并令$B_i$表示$B \cap f^{-1}(T(i))$；然后$f(B) \cap T(i) = f_{T(i)}(B_i)$。由于 $f_{T(i)}(B_i)$ 在 $T(i)$ 到假设处开（或闭），因此，$f(B)$ 在 $Y$ 处，到 § 3, no. 1 的命题 3 处开（或闭）。

因为 $f$ 显然是双射的，并且凭借命题 2 是开集。

a) f 是一个开映射。

b) 三个映射 p、h、i 开。

c) 等价关系 R 是开集，h 是同胚，$f(X)$ 是 Y 的开子集。

此外，如果“开放”始终被“封闭”替换，则前面的命题仍然为真。

由于单射 i 是连续的，因此从 no. 1 的命题 1 c) 可以得出，如果 f 是开路的，那么 $h \circ p$ 也是开路；由于 p 是满射且连续的，命题 1 b) 表明 h 是开集； h 在任何情况下都是连续的双射；因此 h 是同胚，因此，从 no. 1 的命题 1 a) 出发，$p = \overline{h}^{-1} \circ (h \circ p)$ 是开映射。另外 [no. 1, 命题 1 b)] $i \circ h$ 已打开；因此 [no. 1, 命题 1 a)] $i = (i \circ h) \circ \overline{h}^{-1}$ 也是如此。这证明a)蕴涵b)。相反，no. 1的命题 1 a)表明b)蕴涵a)。最后，b)和c)的等价紧随定义而来。

证明在闭合的情况下映射是类似的，加以必要的修改。

a) A 在 X 处开（或闭）。

b) A 相对于 R 是饱和的。

那么在 A 上诱导的关系 $R_A$ 是开（或闭）的，并且 $A/R_A$ 到 $f(A)$ 的典范映射是同胚。

考虑 § 3, no. 6 的交换律图表 (i)，它给出了 $f \circ j$ 的规范分解。在条件 a) 下，$j$ 开（或闭），$f$ 乘假设也是如此；因此 $f \circ j$ 开（或闭）[no. 1, 命题 1 a)]，结果由命题 3 得出。在条件 b) 下，我们有

$h \circ \varphi$是$A$到$f(A)$的映射，与$A$上的$f$一致；由于no. 1的命题 2 a)，$h \circ \varphi$打开（或关闭），并且结果再次从命题 3得出，应用于$h \circ \varphi$。

a) $f$是一个开放的映射。

b) 对于每个$U \in \mathfrak{B}$，$f(U)$在$Y$开放。

c) 对于$X$中$x$的每个$x \in X$和邻域$V$，$f(V)$是$Y$中$f(x)$的邻域。

a) 和 b) 的等价紧接在定义和$(O_1)$之后； a)和c)的等价是§ 1, no. 2的命题1中的推论。

a) 关系 $R$ 已开放。

b) 相对于$R$饱和的每个子集的内部相对于$R$也饱和。

c) 每个相对于$R$饱和的子集的闭包相对于$R$也是饱和的。

通过补集 ($§ 1$, no. 6, 公式 (2))，我们看到 b) 和 c) 是等价的。让我们证明 b) 蕴含 a)：假设条件 b) 满足，并令 $U$ 为 $X$ 的开子集，$V$ 相对于 $R$ 饱和；然后$\dot{V} \supset U$，并且由于到假设$\dot{V}$饱和，因此$\dot{V} = V$，因此$U$的饱和是开放的。反之，假设满足条件a)，则令$A$为饱和的集合；如果$B$是$\dot{A}$的饱和度，则$\dot{A} \subset B \subset A$，并且由于$B$由假设打开，因此$B = \dot{A}$。

命题的两个断言中的每一个都可以通过求补并使用 § 1, no. 6 的公式 (2) 以及如果 $B$ 是 $X$ 的饱和子集那么 $\varphi(\complement B) = \complement_{\varphi}(B)$ 的事实来推导出来。由于命题6，$\overline{A}$饱和；因此$\varphi(\overline{A})$在$X/R$关闭，并且从$A \subset \overline{A}$开始我们有$\varphi(A) \subset \varphi(\overline{A})$，所以$\varphi(A) \subset \varphi(\overline{A})$。但由于 $\varphi$ 是连续的，$\varphi(\overline{A}) \subset \varphi(A)$ (§ 2, no. 1, 定理 1)，结果如下。

凭借命题 5，我们只需证明$\prod_{i \in I} X_i$中任意初等集合$\prod_{i \in I} A_i$在$f$下的像在$\prod_{i \in I} Y_i$中都是开的。 但是这个像是$\prod_{i \in I} f_i(A_i)$，并且假设意味着对于每个$i \in I$，$f_i(A_i)$在$Y_i$中是开放的，并且对于除了指标的有限数之外的所有$f_i(A_i) = Y_i$； 从而结果。

“对于每个$i \in I$，$\operatorname{pr}_i(x) = \operatorname{pr}_i(y)$（模$R_i$）”

$x$和$y$之间，并令$f$为$X$的乘积映射$(x_i) \to (f_i(x_i))$到$\prod_{i \in I} (X_i/R_i)$。如果关系 $R_i$ 中的每一个都是开路，则关系 $R$ 都是开路，并且与$f$相关的双射是$X/R$到$\prod_{i \in I} (X_i/R_i)$的同胚。

$R$ 是关系 $f(x) = f(y)$。由于$f$是连续的，并且通过上面的命题8和§ 4, no. 1开，命题1的推论1，结果来自no. 2的命题3。

特别是，如果 $R$（或 $S$）是拓扑空间 $X$（或 $Y$）上的开等价关系，则规范的双射

是同胚。如果R和S不假设为开集，则这个双射是连续的，但不一定是同胚，即使关系R，S之一是等式（习题6）的关系。

条件是充分的，因为它显然意味着 f 是闭集的，并且还意味着 f 由于§ 2, no. 1、定理 1 是连续的。相反，如果 f 是连续且闭集的，则通过 § 2, no. 1、定理 1 有 f(A) ⊂ f(Ā) ⊂ f(A)； f(Ā) 也在 X' 中被假设封闭；因此 f(Ā) = f(A)。

假设R是闭集，设U是M的任意开邻域；由于 F = ĈU 在 X 中闭合，因此 F 相对于 R 的饱和度 S 在 X 中闭合。由于 M 相对于 R 是饱和的，所以我们有 M ∩ S = ∅，因此 V = ĈS 是 M 的开邻域，相对于 R 是饱和的并包含在 U 中。

为了证明逆命题，令 F 为 X 的任意闭子集。令T为F相对于R的饱和度，令x为ĈT的点，并令M为x的等价类；则 M ∩ T = ∅ 且更不必说 M ∩ F = ∅，因此 U = ĈF 是 M 的邻域。因此，M 存在邻域 V ⊂ U，使得 V 相对于 R 饱和； V 不满足 F，因此不满足 T，因此 ĈT 是 M 的邻域，因此也是 x 的邻域。这表明 ĈT 是开集 (§ 1, no. 2, 命题 1)，即 T 是闭集。