§ 4. 拓扑乘积空间

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4. 拓扑乘积空间

1. Product spaces

定义 1 0B27

给定拓扑空间的族 $(X_i)_{i \in I}$ ，该族的乘积空间是乘积集合 $X = \prod_{i \in I} X_i$ ，拓扑是 $X_i$ 拓扑的乘积（§ 2, no. 3，例3）。空间 $X_i (i \in I)$ 称为 X 的因子。

引用了 4

引用了例 3, I § 2, 命题 4, I § 2, 命题 3, 习题 9, § 4

By virtue of § 2, no. 3, Proposition 4, the product topology on $X$ has as a base the set $\mathfrak{B}$ of finite intersections of sets of the form $\overline{\mathrm{pr}}_i^{-1}(U_i)$ , where $U_i$ is open in $X_i$ ; these sets are products $\prod_{i \in I} A_i$ , where $A_i$ is open in $X_i$ for each $i \in I$ and $A_i = X_i$ for all but a finite number of indices. 这些集合将被称为基本集合。

如果 $\mathfrak{B}_i$ 是 $X_i$ 的拓扑的基（对于每个 $i \in I$ ），很明显，对于每个指标 $i$ ，初等集合 $\prod_{i \in I} A_i$ 使得 $A_i \in \mathfrak{B}_i$ 使得 $A_i \neq X_i$ 形式另一个基共乘积拓扑。这个型的基本集合，其中包含给定点 $x \in X$ ，因此形式是 $x$ 的邻域的基本系统（ $§ 1$ ，no. 3，命题3)。

如果 $I$ 是有限集合，则因子 $X_i$ 拓扑中乘积拓扑的构造更简单：初等集合只是乘积 $\prod_{i \in I} A_i$ ，其中 $A_i$ 是任何开路 $X_i$ 中的子集，每个 $i \in I$ (cf. 习题 9)。

例 0B28

\* $n$ 空间乘积 $\mathbf{R}^n$ 与实直线 $\mathbf{R}$ 相同，称为 $n$ 维数实数空间； $\mathbf{R}^2$ 也称为实平面（cf.章VI, § 1）。同样，从有理线 $\mathbf{Q}$ 开始，我们定义 $n$ 维数 $\mathbf{Q}^n$ 的有理数空间（ $n = 2$ 的有理平面）。

空间 $\mathbf{R}^n$ 中的拓扑在 $\mathbf{R}$ 中具有 $n$ 所有乘积中的基集合，称为 $n$ 维数的开箱。打开的盒子是包含点 $x \in \mathbf{R}^n$ 形式这个点的邻域的基本系统。同样， $\mathbf{R}$ 中 $n$ 闭区间的乘积称为 $n$ 维数的闭箱。 $x$ 内部的封闭盒子也是形式 $x$ 邻域的基本系统。 $\mathbf{Q}^n$ 也有类似的结果。 \

引用了 1

引用了 VI § 1. REAL NUMBER SPACE $\mathbf{R}^n$

命题 1 0B29

Let $f = (f_i)$ be a mapping of a topological space $Y$ into a product space $X = \prod_{i \in I} X_i$ . 那么 $f$ 在点 $a \in Y$ 连续当且仅当 $f_i$ 对于每个 $i \in I$ 在 $a$ 连续。

引用了 1 · 被以下引用 11

引用了命题 4, I § 2

被以下引用命题 5, I § 10, § 4. 拓扑乘积空间, 推论 1, 推论 2, 命题 2, I § 8, 定理 2, II § 3, 定理 2, II § 4, 命题 25, III § 2, 注, III § 6, 命题 1, III § 6, 命题 5, VI § 1

从 $f_i = \mathrm{pr}_i \circ f$ 开始，这只是 § 2, no. 3 的命题 4 的特例。

推论 1 0B2A

令 $(X_i)_{i \in I}, (Y_i)_{i \in I}$ 为拓扑空间的两个族，且集合与指标相同。对于每个 $i \in I$ ，令 $f_i$ 为 $X_i$ 到 $Y_i$ 的映射。在阶中乘积映射 $f : (x_i) \to (f_i(x_i))$

\prod_{i \in I} X_i \text{ into } \prod_{i \in I} Y_i

应在点

a = (a_i)

连续对于每个

i \in I

，

f_i

在

a_i

连续是必要且充分的。

引用了 1 · 被以下引用 5

引用了命题 1

被以下引用命题 4, 推论, I § 5, 定理 2, II § 4, III § 2. 子群、商群、同态、均质空间、乘积群, 命题 25, III § 2

f 可以写成 $x \to (f_i(\mathrm{pr}_i(x)))$ ，因此命题 1 条件就足够了。相反，对于每个 $x \in I$ ，令 $g_x$ 为 $X_x$ 到 $\prod_{i \in I} X_i$ 的映射，使得每当 $i \neq x$ 时， $\mathrm{pr}_x(g_x(x_x)) = x_x$ 和 $\mathrm{pr}_i(g_x(x_x)) = a_i$ ；那么 $g_x$ 在点 $a_x$ 连续命题1。从 $f_x = \mathrm{pr}_x \circ f \circ g_x$ 开始，如果 $f$ 在 $a$ 连续，那么 $f_x$ 在 $a_x$ 连续。

推论 2 0B2B

令 $X, Y$ 为两个拓扑空间。在阶中，映射 $f : X \to Y$ 应该是连续的，映射 $g : x \to (x, f(x))$ 是 $X$ 同胚到 $f$ 的图 $G$ （视为子空间）是充分必要的乘积空间 $X \times Y$ ）。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 E IV § 2. 态射和导出结构, 命题 1

被以下引用命题 5, I § 10

由于 $f = \mathrm{pr}_2 \circ g$ ，条件就足够了。这也是必要的，因为如果 $f$ 是连续的，则 $g$ 是双射且连续的 (命题 1)，并且 $g$ 的逆是 $\mathrm{pr}_1$ 到 $G$ 的限制，它是连续的 (cf. 集合理论，章 IV, § 2, no. 4，标准 CST 17)。

命题 2（拓扑乘积的结合性） 0B2C

令 $(X_i)_{i \in I}$ 为集合 $I$ 的拓扑空间、 $(J_x)_{x \in K}$ 划分族，对于每个 $x \in K$ 令 $X'_x = \prod_{i \in J_x} X_i$ 为空间 $X_i$ 的乘积 $i \in J_K$ 。那么典范映射共乘积空间*

\prod_{i \in I} X_i \text{ onto the product space } \prod_{x \in K} X'_x

*是同胚。

引用了 2 · 被以下引用 4

引用了 E IV § 2. 态射和导出结构, 命题 5, I § 2

被以下引用推论, 注 2, III § 2. 子群、商群、同态、均质空间、乘积群, 命题 25, III § 2

这是初始拓扑传递性的特例（ $\S$ 2、no. 3、命题 5；cf. 集合理论、章 IV, § 2, no. 4，标准 CST 13）。

一般我们通过典范映射*认同*乘积空间 $\prod_{i \in I} X_i$ 和 $\prod_{x \in K} X'_x$ 。

推论 0B2D

设 $\sigma$ 为集合 $I$ 中的置换。那么映射 $(x_i) \to (x_{\sigma(i)})$ 是*的同胚

\prod_{i \in I} X_i \text{ onto } \prod_{i \in I} X_{\sigma(i)}.

引用了 1

引用了命题 2（拓扑乘积的结合性）

对命题 2 中的每个 $i \in I$ 取 $K = I$ 和 $J_i = \{ \sigma(i) \}$ 。

命题 3 0B2E

令 $X$ 为集合， $(Y_i)_{i \in I}$ 为空间的拓扑族，对于每个 $i \in I$ ，令 $f_i$ 为 $X$ 到 $Y_i$ 的映射。令 $f$ 为 $X$ 到 $Y = \prod_{i \in I} Y_i$ 的映射 $x \to (f_i(x))$ ，并令 $\mathfrak{T}$ 为 $X$ 上最粗糙的拓扑，其中映射 $f_i$ 是连续的。那么 $\mathfrak{T}$ 是逆像在拓扑的 $f$ 下， $f(X)$ 由乘积拓扑在 $Y$ 诱发。

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了命题 5

被以下引用 § 4. 拓扑乘积空间, 定义 1, 推论, 推论 1, I § 8

这是初始拓扑传递性的另一个特例（\S\ 2, no. 3, 命题 5; cf. 集合理论, 章 IV, \S\ 2, no. 4, 准则 CST 15）。

推论 0B2F

对于每个 $i \in I$ ，令 $A_i$ 为 $Y_i$ 的子空间。那么乘积拓扑在 $\prod_{i \in I} Y_i$ 上在 $A = \prod_{i \in I} A_i$ 上诱导拓扑是子空间 $A_i$ 拓扑的乘积。

引用了 1

引用了命题 3

令 $j_i$ 为典范嵌入 $A_i \to Y_i$ ，应用命题3至映射 $f_i = j_i \circ \mathrm{pr}_i$ （cf.集合理论，章IV，\S\2，no. 4，标准 CST 14)。

2. 截面开集合；截面已关闭集合；开放的投影集合。部分连续性

命题 4 0B2G

设 $X_1, X_2$ 为两个拓扑空间；那么对于每个 $a_1 \in X_1$ ，映射 $x_2 \to (a_1, x_2)$ 是 $X_2$ 到 $X_1 \times X_2$ 的子空间 $\{a_1\} \times X_2$ 的同胚。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了推论 1

被以下引用命题 6, 命题 7, I § 8

这是命题 1 of no. 1 的推论 1 应用于常数函数 $x_2 \to a_1$ 的特殊情况。

映射 $x_2 \to (a_1, x_2)$ 是关于 $X_1 \times X_2$ 中的等价关系 $\mathrm{pr}_2 z = \mathrm{pr}_2 z'$ 的*连续截面* (\S\ 3, no. 5)；因此，等价关系的商空间 $X_1 \times X_2$ 同胚于 $X_2$ 。

推论 0B2H

截面 $A(x_1)$ 开（或闭）集合 $A$ 或乘积 $X_1 \times X_2$ 在任意点 $x_1 \in X_1 (*)$ 在 $X_2$ 开（或闭）。

被以下引用 2

被以下引用命题 5, 推论 1, II § 1

命题 5 0B2I

乘积 $X_1 \times X_2$ 的开集合 $U$ 到因子的投影是开集合。

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了推论

被以下引用命题 13, I § 11, 命题 3, 例 4, I § 5, 推论 1, II § 1

对于例，我们有 $\mathrm{pr}_2 U = \bigcup_{x_1 \in X_1} U(x_1)$ ，并且命题由命题 4 的推论和公理 (O_1) 得出。

注 1 0B2J

关闭* 的投影 $X_1 \times X_2$ 的子集到因子 不需要关闭。对于例来说，在有理平面 $\mathbf{Q}^2$ 中，方程为 $x_1 x_2 = 1$ 的双曲线是一个闭的集合，但它的投影都等于 $\mathbf{Q}$ 中点 0的补集，这不是一个闭的集合。

() $A$ 在 $x_1$ 的截面* $A(x_1)$ 是指所有 $x_2 \in X_2$ 中的集合使得 $(x_1, x_2) \in A$ （cf.集合理论R，\S\3， no. 7）。

被以下引用 1

被以下引用例, I § 10

命题 6 0B2K

设 $X_1, X_2, Y$ 为乘积空间 $X_1 \times X_2$ 到 $Y$ 的三个拓扑空间、 $f$ 映射。如果 $f$ 在点 $(a_1, a_2)$ 连续，则 $X_2$ 到 $Y$ 的部分映射 $x_2 \to f(a_1, x_2)$ 在点 $a_2$ 连续。

引用了 1

引用了命题 4

对于这个映射是 $f$ 和映射 $x_2 \to (a_1, x_2)$ 的合成；因此结果是从命题 4 得出的。

命题 6 通常用说来表示，两个变量的连续函数对于它们中的每一个来说都是连续的。

注 2 0B2L

由映射 $f : X_1 \times X_2 \to Y$ 确定的所有部分映射可能是连续的，而不是 $f$ 在 $X_1 \times X_2$ 上连续（cf. 章 IX, § 5、习题 23）。 \* 对于例，如果 $f$ 是实平面 $\mathbf{R}^2$ 到 $\mathbf{R}$ 的映射，定义为

f(x, y) = xy/(x^2 + y^2) \quad \text{if} \quad (x, y) \neq (0, 0)

和

f(0, 0) = 0

，则所有部分映射都是连续的；但

f

在

(0, 0)

处不连续，因为如果

x \neq 0

则

f(x, x) = 1/2

。

如果 $g$ 是 $X_1$ 的映射到 $Y$ ，在点 $a_1$ 连续，那么 $X_1 \times X_1 \to Y$ 的映射 $(x_1, x_2) \to g(x_1)$ 完全连续点 $(a_1, x_2)$ ，因为它是 $g$ 和投影的合成到 $X_1$ 。

这个小节的结果很容易扩展到拓扑空间的任意乘积 $\prod_{i \in I} X_i$ ，通过指出对于任何划分 $(J, K)$ ，这个乘积同胚于乘积 $\left( \prod_{i \in J} X_i \right) \times \left( \prod_{i \in K} X_i \right)$ $I$ （no. 1，命题2）。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了习题 23, § 5, 命题 2（拓扑乘积的结合性）

被以下引用命题 9, II § 2

3. 乘积关闭

命题 7 0B2M

在乘积空间 $\prod_{i \in I} X_i$ 中，集合 $\prod_{i \in I} A_i$ 的乘积的关闭与乘积 $\prod_{i \in I} \overline{A}_i$ 的关闭相同。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了定理 1, I § 2

被以下引用推论 1, II § 1, 命题 6, II § 2, 命题 18, II § 3

假设 $a = (a_i)$ 位于 $\prod_{i \in I} A_i$ 的闭包内；那么对于每个 $x \in I$ ，由于 $\operatorname{pr}_x$ （§ 2, no. 1，定理 1）的连续性， $a_x = \operatorname{pr}_x a$ 位于 $A_x$ 的闭包中，因此 $a \in \prod_{i \in I} \overline{A}_i$ 。相反，令 $b = (b_i) \in \prod_{i \in I} \overline{A}_i$ ，并令 $\prod_{i \in I} V_i$ 为任意初等集合包含 $b$ ；对于每个 $i \in I$ 、 $V_i$ 包含点 $x_i \in A_i$ ；因此 $\prod_{i \in I} V_i$ 包含点 $(x_i) \in \prod_{i \in I} A_i$ ，因此 $b$ 位于 $\prod_{i \in I} A_i$ 的闭包中。

推论 0B2N

乘积* $\prod_{i \in I} A_i$ 非空集合在乘积空间 $\prod_{i \in I} X_i$ 当且仅当 $A_i$ 在 $X_i$ 对于每个 $i \in I$ 时封闭。

被以下引用 2

被以下引用命题 4, I § 10, VI § 1. REAL NUMBER SPACE $\mathbf{R}^n$

如果 $I$ 是*有限*，则乘积 $\prod_{i \in I} A_i$ 开，前提是对于每个 $i \in I$ ， $A_i$ 在 $X_i$ 中开；但如果 $I$ 是无限的，情况就不再如此。

命题 8 0B2O

令* $a = (a_i)$ *为乘积空间* $X = \prod_{i \in I} X_i$ 中的任意点； 然后点 $x \in X$ 的集合 $D$ 这样 $\mathrm{pr}_i x = a_i$ 除了指标 $i$ 的有限数是稠密的 $X$ 。

被以下引用 2

被以下引用命题 8, I § 11, 命题 25, III § 2

对于每个 $x \in X$ 和每个基本集合 $V = \prod_{i \in I} U_i$ 其中包含 $x$ ，我们有 $U_i = X_i$ ，除了指标 $i$ 属于到有限子集 $J$ $I$ ；如果我们用 $y_i = x_i$ 代表 $i \in J$ ，用 $y_i = a_i$ 代表 $i \notin J$ ，很明显

y = (y_i) \in D \quad \text{and} \quad y \in V;

因此结果。

4. 拓扑逆极限空间

令 $I$ 为偏序（但不一定有向）集合()，其中序关系写为 $\alpha \leq \beta$ 。对于每个 $\alpha \in I$ ，令 $X_\alpha$ 为拓扑空间，对于每个对 $(\alpha, \beta)$ ，使得 $\alpha \leq \beta$ 令 $f_{\alpha \beta}$ 为 $X_\beta$ 到 $X_\alpha$ 的映射。我们说 $(X_\alpha, f_{\alpha \beta})$ 是拓扑空间的*逆系，如果： 1) $(X_\alpha, f_{\alpha \beta})$ 是集合*的*逆系； 2) 每当 $\alpha \leq \beta$ 时， $f_{\alpha \beta}$ 都是*连续* 映射。令 $X$ 表示集合 $\varprojlim X_\alpha$ ，对于每个 $\alpha \in I$ ，令 $f_\alpha$ 为典范映射 $X \to X_\alpha$ ；那么 $X$ 上的*粗略*拓扑（其中 $f_\alpha$ 是连续的）被认为是 $X_\alpha$ 拓扑的*逆极限*（相对于 $f_{\alpha \beta}$ ），并且集合 $X$ 与此拓扑称为拓扑空间* $(X_\alpha, f_{\alpha \beta})$ 的逆系*逆极限。每当我们将 $\varprojlim X_\alpha$ 称为拓扑空间时，总是可以理解，这个空间的拓扑是 $X_\alpha$ 拓扑的逆极限，除非明确指出相反。

集合 $X$ 是点 $x$ 中乘积 $\prod_{\alpha \in I} X_\alpha$ 由……组成的子集，使得

(1)

\mathrm{pr}_\alpha(x) = f_{\alpha \beta}(\mathrm{pr}_\beta(x))

每当

\alpha \leq \beta

时。 It follows from Proposition 3 of no. 1 that the inverse limit of the topologies of the

X_\alpha

is the same as the topology induced on

X

by the topology of the product space

\prod_{\alpha \in I} X_\alpha

. 如果对于每个

\alpha \in I

，

Y_\alpha

是

() 即，集合赋予自反和及物关系（集合理论* R，§ 6, no. 1）。

$X_\alpha$ 的子空间，使得 $X_\alpha$ 的 $Y_\alpha$ 形式子集* 的 逆系 (集合理论* 章 III, , n° 2)，那么很明显，拓扑空间 $\varprojlim Y_\alpha$ 是 $\varprojlim X_\alpha$ 的 子空间

令 $(X'_\alpha, f'_{\alpha\beta})$ 为拓扑空间的另一个逆系，由相同的集合 $I$ 索引，并且对于每个 $\alpha \in I$ 令 $u_\alpha : X_\alpha \to X'_\alpha$ 为*连续*映射，使得 $(u_\alpha)$ 为*逆系共映射*；那么 $u = \varprojlim u_\alpha$ 是 $X = \varprojlim X_\alpha$ 到 $X' = \varprojlim X'_\alpha$ 的连续映射。因为如果 $f'_\alpha$ 是典范映射 $X' \to X'_\alpha$ ，我们有 $f'_\alpha \circ u = u_\alpha \circ f_\alpha$ ，因此 $f'_\alpha \circ u$ 对于每个 $\alpha \in I$ 都是连续的，并且断言从§ 2, no. 3的命题4开始。

最后，假设 $I$ 是一个*有向*集合，并令 $J$ 是 $I$ 的*共最终*子集；设 $Z$ 为拓扑空间 $(X_\alpha, f_{\alpha\beta})_{\alpha \in J, \beta \in J}$ 逆系逆极限。那么规范的双射 $g : X \to Z$ (集合理论, 章 III, § 7, no. 2, 命题 3) 是一个*同胚*。因为每个 $\lambda \in J$ 都有 $\mathrm{pr}_\lambda(g(x)) = \mathrm{pr}_\lambda(x)$ ；因此 $g$ 是连续的 (no. 1, 命题 1)；如果 $h$ 是 $g$ 的倒数，那么对于每个 $\alpha \in I$ ，存在 $\lambda \in J$ 使得 $\alpha \leq \lambda$ ，因此存在 $\mathrm{pr}_\alpha(h(z)) = f_{\alpha\lambda}(\mathrm{pr}_\lambda(z))$ ，这表明 $h$ 是连续的（no. 1，命题1），因为 $f_{\alpha\lambda}$ 是连续的。

命题 9 0B2P

令 $I$ 为有向集合，并且 $J$ 是 $I$ 的并列子集。令 $(X_\alpha, f_{\alpha\beta})$ 为由 $I$ 索引的拓扑空间的逆系；设 $X = \varprojlim X_\alpha$ 并设 $f_\alpha : X \to X_\alpha$ 为典范映射。那么集合 $f^{-1}_\alpha(U_\alpha)$ 的族，其中 $\alpha$ 贯穿 $J$ ， $U_\alpha$ 贯穿 $X_\alpha$ 的拓扑的基 $\mathfrak{B}_\alpha$ ，对于每个 $\alpha \in J$ ，是基拓扑共 $X$ 。

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了 I § 2. 连续函数

被以下引用推论, 命题 10, II § 2, 推论 3, III § 7, 命题 2, III § 7

从§ 2, no. 3我们知道形式 $f^{-1}_\alpha(U_\alpha)$ 集合*有限交*（ $\alpha \in I, U_\alpha$ 在 $X_\alpha$ 开） $X$ 拓扑形式基。如果 $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq n}$ 是 $I$ 的指标的有限族，则存在 $\gamma \in J$ 使得 $\alpha_i \leq \gamma$ 对于 $1 \leq i \leq n$ ；因此 $f_{\alpha_i} = f_{\alpha_i\gamma} \circ f_\gamma$ ；如果我们把

V_\gamma = \bigcap_i f^{-1}_{\alpha_i\gamma}(U_{\alpha_i}),

那么我们有

f^{-1}_\gamma(V_\gamma) = \bigcap_i f^{-1}_{\alpha_i}(U_{\alpha_i});

但 $V_\gamma$ 是开放的，因此是集合属于到 $\mathfrak{B}_\gamma$ 的并。于是就有了这样的结果。

推论 0B2Q

令 $A$ 为 $X$ 的子集，并让 $A_\alpha$ 代表每个 $\alpha \in I$ 的 $f_\alpha(A)$ 。然后：

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了定理 1, I § 2, 命题 9

被以下引用习题 1, § 4, 引理 1, LIE IX Appendix 1

(i) The $A_\alpha$ (resp. the $\overline{A}_\alpha$ ) form an inverse system of subsets of the $X_\alpha$ , and

\overline{A} = \bigcap_\alpha f^{-1}_\alpha(\overline{A}_\alpha) = \varprojlim \overline{A}_\alpha.

(ii) 如果 $A$ 在 $X$ 、 $A = \varprojlim A_\alpha = \varprojlim \overline{A}_\alpha$ 内关闭。

(i) 的第一个断言由 $\alpha \leq \beta$ 的关系 $f_\alpha = f_{\alpha\beta} \circ f_\beta$ 以及 $f_{\alpha\beta}$ (§ 2, no. 1, 定理 1) 的连续性得出。让 $A'$ 表示

\bigcap_\alpha \overline{f}_\alpha(\overline{A}_\alpha);

那么显然

A'

是闭集，包含

A

，所以

\overline{A} \subset A'

。相反，令

x \in A'

；我们必须证明

x

位于

A

的闭包中。凭借命题 9，足以证明

x

的每个邻域，其中形式

\overline{f}_\alpha(U_\alpha)

，其中

\alpha \in I

和

U_\alpha

在

X_\alpha

开，满足

A

。现在，到假设，

f_\alpha(x) \in U_\alpha

，从

f_\alpha(x) \in \overline{A}

开始，我们有了

U_\alpha \cap A_\alpha \neq \varnothing

，这意味着

A \cap \overline{f}_\alpha(U_\alpha)

不为空。

为了建立(ii)，注就足够了，在 $A$ 上没有任何限制，我们有 $A \subset \lim A_\alpha \subset \lim \overline{A}_\alpha$ ；现在如果 $A$ 是闭合的，那么从 (i)

A = \lim \overline{A}_\alpha

(ii)如下。

例 0B2R

令 $I$ 为有向集合，而 $(X_\alpha)_{\alpha \in I}$ 为子集和集合 $Y$ 的族，这样只要 $\alpha \leq \beta$ 就有 $X_\alpha \supset X_\beta$ 。对于每个 $\alpha \in I$ ，令 $\mathfrak{T}_\alpha$ 在 $X_\alpha$ 上为拓扑，使得每当 $\alpha \leq \beta$ 时， $\mathfrak{T}_\beta$ 比更细大于拓扑，由 $\mathfrak{T}_\alpha$ 在 $X_\beta$ 上感应。如果我们将 $\alpha \leq \beta$ 的 $f_{\alpha\beta}$ 视为典范嵌入 $X_\beta \to X_\alpha$ ，那么 $\lim X_\alpha$ 可以用 $X_\alpha$ 的*交* $X$ 规范地识别，其中拓扑是*最小的 $\mathfrak{T}_\alpha$ 在 $X$ 上引发的拓扑的上界* (§ 2, no. 3, 例 2)。

引用了 1

引用了例 2, I § 2

习题

参见习题为 § 4。