习题 23, § 5

令$X$为拓扑空间，并令$Y, Z$为两个度量空间，度量分别为$d, d'$。令$f : X \times Y \to Z$为映射，使得对于每个$x_0 \in X$，$y \to f(x_0, y)$在$Y$上连续，并且对于每个$y_0 \in Y$，$x \to f(x, y_0)$在$X$上连续。

a) 对于每个实数$\varepsilon > 0$、每个$b \in Y$和每个$x \in X$，令$g(x; b, \varepsilon)$表示数$\alpha > 0$中最小的上界，使得关系$d(b,\ y) < \alpha$意味着$d'(f(x,\ b),\ f(x,\ y)) \leq \varepsilon$。证明函数 $x \to g(x;\ b,\ \varepsilon)$ 是上半连续。

b) 如果 $X$ 是 Baire 空间，则从 a) 和定理 2 推出，对于每个 $b \in Y$，$X$ 中都有集合 $S_b$，其补数很少，使得 $f$ 在 $(a,\ b)$ 连续每个$a \in S_b$。