习题 7, § 4

A topological space $X$ is said to be perfectly normal if it is normal and if each closed subset of $X$ is a countable intersection of open sets (or, equivalently, if each open subset of $X$ is a countable union of closed sets).

a) Hausdorff 空间 $X$ 是完全正规的，当且仅当给定 $X$ 的任何闭子集 $A$，$X$ 上存在实值连续函数 $f$，使得 $f^{-1}(0) = A$ [使用方法习题 16 a) § 1]。

b) 证明每个完全正态空间 $X$ 都是完全正态，并且 $X$ 的每个子空间都是完全正态 [使用习题 3 b) 和 6]。

c) 完全正规空间上的每个下半连续实值函数是连续函数的序列的上包络线（使用§ 2, no. 7、命题11的方法）。

d) 将点无穷远邻接至不可数离散空间得到的紧空间$X$是完全正规的，但不是完全正规的，$X$的每个子空间都是仿紧的。