Exercice 7, § 4

Dans un espace topologique X, les propriétés suivantes sont équivalentes: α) tout sous-espace de X vérifie l’axiome (O'_V); β) tout sous-espace ouvert de X vérifie l’axiome (O'_V); γ) pour tout couple de parties A, B de X telles que $A \cap \overline{B} = B \cap \overline{A} = \varnothing$, il existe deux ensembles ouverts, U, V sans point commun tels que $A \subset U$ et $B \subset V$.

Un espace topologique X est dit complètement normal s’il est séparé et s’il possède les propriétés équivalentes précédentes. Tout espace métrisable est complètement normal. Un espace compact n’est pas nécessairement complètement normal.