Bài tập 7, § 4

Một không gian tôpô $X$ được gọi là chuẩn tắc hoàn hảo nếu nó là chuẩn tắc và nếu mỗi tập con đóng của $X$ là một giao đếm được của các tập mở (hay, tương đương, nếu mỗi tập mở của $X$ là một hợp đếm được của các tập đóng).

a) Một không gian Hausdorff $X$ là chuẩn tắc hoàn hảo khi và chỉ khi, với mọi tập con đóng $A$ của $X$, tồn tại một hàm liên tục nhận giá trị thực $f$ trên $X$ sao cho $f^{-1}(0) = A$ [sử dụng phương pháp của Bài tập 16 a) của § 1].

b) Chứng minh rằng mọi không gian chuẩn tắc hoàn hảo $X$ đều là hoàn toàn chuẩn tắc và rằng mọi không gian con của $X$ đều là chuẩn tắc hoàn hảo [sử dụng các Bài tập 3 b) và 6].

c) Mọi hàm nhận giá trị thực nửa liên tục dưới trên một không gian chuẩn tắc hoàn hảo đều là bao trên của một dãy các hàm liên tục (sử dụng phương pháp của § 2, no. 7, Mệnh đề 11).

d) Không gian compact $X$ thu được bằng cách ghép thêm một điểm ở vô cực vào một không gian rời rạc không đếm được là hoàn toàn chuẩn tắc nhưng không chuẩn tắc hoàn hảo, và mọi không gian con của $X$ đều là paracompact.