习题 18, § 2

令$X$为度量空间，使得对于每个$x \in X$，存在一个具有中心$x$的开球，当将其视为$X$的子空间时，具有可数的基。令 $r_x$ 为具有性质的中心 $x$ 的球半径中最小的上界。

a) 使用 Zorn 的引理，证明 $X$ 中存在一个*极大*系列 $(B_\alpha)$ 开球，它们是成对的不相交的，因此，如果 $x_\alpha$ 是 $B_\alpha$ 的中心，则 $B_\alpha$ 的半径为$< r_{x_\alpha}$。证明$B_x$的并在$X$是稠密的，因此存在$X$的稠密子集$M$，使得每个具有中心的开球在任意点$x \in X$和半径$< r_x$ 包含只有$M$的点的“可数”无穷大（注这样的球只能满足成对的不相交的开集合和应用命题12的可数无穷大）。

b) 对于每个点 $x \in M$，让 $S_x$ 表示具有中心 $x$ 和半径 $\frac{1}{3} r_x$ 的开球。证明$S_x$覆盖$X$，并且$X$属于的任意点仅到$S_x$的*可数*无穷大[注，如果$y \in S_x$，我们有$d(x, y) \leq \frac{1}{2} r_y$]。

c) 设$R$为$X$的点$x, y$之间的等价关系：存在$M$的点的序列$(z_i)_{1 \leq i \leq n}$，使得$x \in S_{z_1}$、$y \in S_{z_n}$和$S_{z_i}$ 满足$S_{z_{i+1}}$ $1 \leq i \leq n - 1$。证明等价类 (mod $R$) 是 $X$ 的子空间，它们在 $X$ 中都是开闭的，并且具有可数的基；在其他字中，$X$是度量空间的*拓扑和*，可数基（章I, § 2, no. 4）。