Bourbaki

7. Tổng và tích vô hạn của các số thực

Vì mọi điểm của R\mathbf{R} đều có một hệ cơ bản lân cận đếm được (§ 1, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 3), suy ra rằng một họ (xt)(x_t) các số thực hữu hạn chỉ là khả tổng trong R\mathbf{R} nếu tập hợp các chỉ số t sao cho xt≠0x_t \neq 0 là đếm được (Chương III, § 5, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 1). Do đó việc nghiên cứu các họ khả tổng trong R\mathbf{R} về cơ bản được quy về việc nghiên cứu các dãy khả tổng. Tuy nhiên, về sau chúng ta sẽ phải xét các họ không đếm được (xt)(x_t) các số thực hữu hạn, mà các số hạng là các hàm của một tham số tt; có thể xảy ra là họ này khả tổng với mọi tt, nhưng tập hợp (đếm được) các chỉ số ii sao cho xi≠0x_i \neq 0 lại phụ thuộc vào tt. Vì lý do đó, trong phần sau chúng ta sẽ không đặt giả thiết nào về lũy thừa của tập hợp chỉ số.

1. Các họ số hữu hạn dương khả tổng trong R\mathbf{R}

Định lý 1

Một họ* (xi)(x_i) các số thực hữu hạn ⩾0\geqslant 0 là khả tổng trong R\mathbf{R} khi và chỉ khi tập hợp các tổng riêng phần hữu hạn của họ bị chặn trên trong R\mathbf{R}. Khi đó, cận trên bé nhất của tập hợp này là tổng của họ (xi)(x_i).

Với mỗi tập con hữu hạn HH của tập chỉ số II, đặt sH=∑i∈Hxis_H = \sum_{i \in H} x_i; vì các xix_i đều ⩾0\geqslant 0, quan hệ H⊂H′H \subset H' kéo theo sH⩽sH′s_H \leqslant s_{H'}. Nói cách khác, ánh xạ H→sHH \to s_H là một hàm tăng trên tập có hướng F(I)\mathfrak{F}(I) các tập con hữu hạn của II; do đó (§ 5, no. 2, Hệ quả của Định lý 2) nó có một giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó bị chặn trên.

Nhận xét

Cho (Hλ)(H_\lambda) là một họ các tập con hữu hạn của II sao cho, với mỗi tập con hữu hạn HH của II, tồn tại một chỉ số λ\lambda sao cho H⊂HλH \subset H_\lambda; khi đó (xi)(x_i) là khả tổng nếu và chỉ nếu họ các sHλs_{H_\lambda} bị chặn trên trong R\mathbf{R}. Đặc biệt, cho (xn)(x_n) là một dãy các số thực hữu hạn ⩾0\geqslant 0, và với mỗi số nguyên nn đặt sn=∑p=0nxps_n = \sum_{p=0}^n x_p; khi đó dãy (xn)(x_n) là khả tổng trong R\mathbf{R} nếu và chỉ nếu, đối với một dãy các số nguyên tăng ngặt (nk)(n_k), dãy bộ phận (snk)(s_{n_k}) bị chặn trên trong R\mathbf{R}.

Ví dụ.* 1) Với mỗi số qq sao cho 0⩽q<10 \leqslant q < 1, dãy (qn)(q^n) ("cấp số nhân có công bội qq") là khả tổng trong R\mathbf{R}, vì

sn=1−qn+11−q⩽11−q s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \leqslant \frac{1}{1 - q}
tổng của dãy này là lim⁡n→∞sn=11−q\lim_{n \to \infty} s_n = \frac{1}{1 - q}.

2) Cho aa và bb là hai số sao cho 0⩽a<10 \leqslant a < 1 và 0⩽b<10 \leqslant b < 1; khi đó họ (ambn)(m,n)∈N×N(a^m b^n)_{(m, n) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}} là cộng được trong R\mathbf{R}. Thật vậy, mỗi tập con hữu hạn của N×N\mathbf{N} \times \mathbf{N} được chứa trong một tập con dạng [0,p]×[0,p][0, p] \times [0, p], và ta có

∑m=0p∑n=0pambn=(∑m=0pam)(∑n=0pbn)=1−ap+11−a⋅1−bp+11−b⩽1(1−a)(1−b). \sum_{m=0}^p \sum_{n=0}^p a^m b^n = \left( \sum_{m=0}^p a^m \right) \left( \sum_{n=0}^p b^n \right) = \frac{1 - a^{p+1}}{1 - a} \cdot \frac{1 - b^{p+1}}{1 - b} \leqslant \frac{1}{(1 - a)(1 - b)}.

3) Với mỗi số nguyên p>1p > 1, dãy (n−p)(n^{-p}) (n>0n > 0) là cộng được, vì

s2n+1−s2n=∑k=12n(2n+k)−p<2n⋅(2n)−p s_{2^n + 1} - s_{2^n} = \sum_{k=1}^{2^n} (2^n + k)^{-p} < 2^n \cdot (2^n)^{-p}
và do đó, bằng cách cộng các bất đẳng thức này,
s2n<11−21−p. s_{2^n} < \frac{1}{1 - 2^{1-p}}.

4) Dãy (1/n)(1/n) (n>0n > 0) không khả tổng trong R\mathbf{R}, vì

s2n+1−s2n=∑k=12n12n+k>2n2n+1=12 s_{2^{n+1}} - s_{2^n} = \sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{2^n + k} > \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}
và do đó, cộng các bất đẳng thức này lại với nhau,
s2n>n/2 s_{2^n} > n/2
nên tiêu chuẩn của Định lý 1 không được thỏa mãn.

5) Cho (In)(I_n) là một dãy các khoảng mở không rỗng đôi một rời nhau, tất cả đều được chứa trong một khoảng có độ dài hữu hạn ll. Tổng các độ dài của một số hữu hạn khoảng thuộc họ này là ≤l\leq l (§1§ 1, no. 5) và do đó họ các độ dài của các InI_n là khả tổng trong R\mathbf{R}, và tổng của nó là ≤l\leq l.

Định lý 2 (Nguyên lý so sánh)

Cho* (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} và (yi)i∈I(y_i)_{i \in I} là hai họ các số thực hữu hạn ≥0\geq 0, sao cho xi≤yix_i \leq y_i với mọi ii. Nếu (yi)(y_i) là khả tổng trong R\mathbf{R} thì (xi)(x_i) cũng vậy, và ta có ∑ixi≤∑iyi\sum_i x_i \leq \sum_i y_i; nếu thêm nữa tồn tại một chỉ số xx sao cho xx<yxx_x < y_x, thì ∑ixi<∑iyi\sum_i x_i < \sum_i y_i.

Giả thiết suy ra rằng,

∑i∈Hxi≤∑i∈Hyi, \sum_{i \in H} x_i \leq \sum_{i \in H} y_i,
với mọi tập con hữu hạn HH của II, và phần thứ nhất của định lý được suy ra từ điều này; bất đẳng thức liên hệ các tổng được suy ra từ nguyên lý mở rộng các bất đẳng thức (§5§ 5, no. 2, Định lý 1). Nếu xx<yxx_x < y_x, thì
∑ixi=xx+∑i≠xxi<yx+∑i≠xyi=∑iyi. \sum_i x_i = x_x + \sum_{i \neq x} x_i < y_x + \sum_{i \neq x} y_i = \sum_i y_i.

Định lý này cung cấp tiêu chuẩn được dùng thông dụng nhất để quyết định một dãy (xn)(x_n) các số thực ≥0\geq 0 có tổng được trong R\mathbf{R} hay không: ta cố so sánh dãy đã cho với một dãy đơn giản hơn (yn)(y_n) mà ta đã biết nó có tổng được hay không. Nếu tồn tại một số hữu hạn a>0a > 0 sao cho xn≤aynx_n \leq a y_n với mọi nn kể từ một điểm nào đó trở đi, và nếu (yn)(y_n) có tổng được, thì (xn)(x_n) có tổng được; còn nếu tồn tại một số hữu hạn b>0b > 0 sao cho xn≥bynx_n \geq b y_n với mọi nn kể từ một điểm nào đó trở đi, và nếu (yn)(y_n) không có tổng trong R\mathbf{R}, thì (xn)(x_n) không có tổng trong R\mathbf{R}. Ta sẽ thấy trong một tập sau cách thu được những dãy so sánh như thế trong các trường hợp xuất hiện thường gặp nhất.

Ví dụ 1

Cho aa là một số thực hữu hạn >0> 0, và xét dãy (ann!)\left( \frac{a^n}{n!} \right); gọi n0n_0 là số nguyên nhỏ nhất sao cho a<n0a < n_0. Khi đó với mỗi n≥n0n \geq n_0 ta có

ann!≤an0n0!⋅(an0)n−n0; \frac{a^n}{n!} \leq \frac{a^{n_0}}{n_0!} \cdot \left( \frac{a}{n_0} \right)^{n-n_0};
vì q=an0<1q = \frac{a}{n_0} < 1, dãy (qn−n0)(q^{n-n_0}) là hội tụ tuyệt đối, và do đó dãy (ann!)\left( \frac{a^n}{n!} \right) cũng vậy.

Ví dụ 2

Cho (an)(a_n) là một dãy khả tổng gồm các số dương. Vì

lim⁡n→∞an=0, \lim_{n \to \infty} a_n = 0,
nên tồn tại một số nguyên n0n_0 sao cho an≤1a_n \leq 1 mỗi khi n≥n0n \geq n_0. Do đó, với mỗi n≥n0n \geq n_0 ta có an2≤ana_n^2 \leq a_n, và vì thế dãy (an2)(a_n^2) là khả tổng trong R\mathbf{R}. Dãy (anp)(a_n^p) cũng vậy với mỗi số nguyên p>1p > 1.

Ví dụ 3

Cho aa và bb là hai số <1< 1; khi đó

1am+bn≤12(a)m(b)n \frac{1}{a^m + b^n} \leq \frac{1}{2(\sqrt{a})^m (\sqrt{b})^n}
và do đó họ (1am+bn)\left( \frac{1}{a^m + b^n} \right) là khả tổng trong R\mathbf{R}.

Hệ quả

Cho* (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} là một họ khả tổng các số hữu hạn ≥0\geq 0 trong R\mathbf{R}. Nếu HH là một tập con tùy ý của II, ta có

∑i∈Hxi≤∑i∈Ixi, \sum_{i \in H} x_i \leq \sum_{i \in I} x_i,
và đẳng thức chỉ đúng nếu xi=0x_i = 0 với mọi i∈∁Hi \in \complement H.

2. Họ các số hữu hạn có dấu tùy ý khả tổng trong R\mathbf{R}

Định lý 3

Cho* (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} là một họ các số thực hữu hạn; khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

a) Họ (xi)(x_i) là khả tổng trong R\mathbf{R}. b) Họ (∣xi∣)(|x_i|) là khả tổng trong R\mathbf{R}. c) Tập hợp các tổng riêng hữu hạn của họ (xi)(x_i) bị chặn trong R\mathbf{R}.

Đặt I1I_1 là tập hợp mọi i∈Ii \in I sao cho xi≥0x_i \geq 0, và I2I_2 là tập hợp mọi i∈Ii \in I sao cho xi<0x_i < 0. Họ (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} *[resp. (∣xi∣)i∈I(|x_i|)_{i \in I}] là khả tổng khi và chỉ khi mỗi họ (xi)i∈I1(x_i)_{i \in I_1} và (xi)i∈I2(x_i)_{i \in I_2} *[resp. (∣xi∣)i∈I1(|x_i|)_{i \in I_1} and (∣xi∣)i∈I2(|x_i|)_{i \in I_2}] đều khả tổng (Chương III, § 5, no. 3, Mệnh đề 2 and 3). Bây giờ, nói rằng (xi)i∈I1(x_i)_{i \in I_1} khả tổng, hay nói rằng (∣xi∣)i∈I1(|x_i|)_{i \in I_1} khả tổng, hay nói rằng tập hợp các tổng bộ phận hữu hạn của họ (xi)i∈I1(x_i)_{i \in I_1} bị chặn (no. 1, Định lý 1), thì cũng là một; và điều tương tự cũng đúng khi thay I1I_1 bằng I2I_2. Định lý được suy ra ngay lập tức.

Định lý 3 cho thấy rằng tính khả tổng trong R\mathbf{R} của một họ các số thực hữu hạn chỉ phụ thuộc vào tính khả tổng của họ các giá trị tuyệt đối của chúng.

Nhắc lại (Chương III, § 5, no. 5, Mệnh đề 6) rằng nếu (xi)(x_i) và (yi)(y_i) là hai họ khả tổng của các số thực hữu hạn, thì họ (xi+yi)(x_i + y_i) là khả tổng và ∑(xi+yi)=∑xi+∑yi\sum (x_i + y_i) = \sum x_i + \sum y_i. Hơn nữa, nếu (xi)(x_i) là một họ khả tổng của các số thực hữu hạn và aa là một số thực hữu hạn bất kỳ, thì họ (axi)(ax_i) khả tổng trong R\mathbf{R}, và ta có ∑axi=a⋅∑xi\sum ax_i = a \cdot \sum x_i.

3. Tích của hai tổng vô hạn

Mệnh đề 1

Nếu các họ* (xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in L} và (yμ)μ∈M(y_\mu)_{\mu \in M} các số thực hữu hạn là khả tổng trong R\mathbf{R}, thì họ (xλyμ)(λ,μ)∈L×M(x_\lambda y_\mu)_{(\lambda, \mu) \in L \times M} *cũng vậy và ta có

(1)

∑(λ,μ)∈L×Mxλyμ=(∑λ∈Lxλ)(∑μ∈Myμ). \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} x_\lambda y_\mu = (\sum_{\lambda \in L} x_\lambda) (\sum_{\mu \in M} y_\mu).

Mọi tập con hữu hạn của L×ML \times M đều được chứa trong một tập con hữu hạn dạng H×KH \times K, trong đó HH là một tập con hữu hạn của LL và KK là một tập con hữu hạn của MM. Theo giả thiết, tồn tại một số a>0a > 0 sao cho ∑λ∈H∣xλ∣≤a\sum_{\lambda \in H} |x_\lambda| \leq a và ∑μ∈K∣yμ∣≤a\sum_{\mu \in K} |y_\mu| \leq a với mọi tập con hữu hạn HH và KK của LL và MM tương ứng; do đó

∑(λ,μ)∈H×K∣xλyμ∣=(∑λ∈H∣xλ∣)(∑μ∈K∣yμ∣)≤a2, \sum_{(\lambda, \mu) \in H \times K} |x_\lambda y_\mu| = (\sum_{\lambda \in H} |x_\lambda|) (\sum_{\mu \in K} |y_\mu|) \leq a^2,
và điều này cho thấy họ (xλyμ)(x_\lambda y_\mu) là khả tổng trong R\mathbf{R}, theo Định lý 1 và 3. Theo tính kết hợp, ta có thể viết [Chương III, § 5, no. 3, công thức (2)]
∑(λ,μ)∈L×Mxλyμ=∑λ∈L(∑μ∈Mxλyμ)=∑λ∈Lxλ(∑μ∈Myμ)=(∑λ∈Lxλ)(∑μ∈Myμ); \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} x_\lambda y_\mu = \sum_{\lambda \in L} (\sum_{\mu \in M} x_\lambda y_\mu) = \sum_{\lambda \in L} x_\lambda (\sum_{\mu \in M} y_\mu) = (\sum_{\lambda \in L} x_\lambda) (\sum_{\mu \in M} y_\mu);
do đó có kết quả phải chứng minh.

4. Các họ nhân được trong R∗\mathbf{R}^*

Trong nhóm nhân R∗\mathbf{R}^* của các số thực khác không hữu hạn, một họ (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} chỉ có thể khả nhân nếu lim⁡xi=1\lim x_i = 1 đối với bộ lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của II (Chương III, § 5, no. 2, Mệnh đề 1). Đặc biệt chỉ có thể có một số hữu hạn chỉ số ii sao cho xi<0x_i < 0. Vì vậy ta có thể chỉ cần xét các họ xix_i mà mọi số hạng đều dương ngặt; khi đó thuận tiện là đặt xi=1+uix_i = 1 + u_i, trong đó các uiu_i thỏa mãn các bất đẳng thức −1<ui<+∞-1 < u_i < +\infty với mọi ii. Vì mỗi điểm của R∗\mathbf{R}^* có một hệ cơ bản đếm được các lân cận, tập hợp các chỉ số ii sao cho ui≠0u_i \neq 0 là đếm được, nếu họ (1+ui)(1 + u_i) là khả nhân trong R∗\mathbf{R}^*.

Định lý 4

Họ* (1+ui)(1 + u_i) là khả nhân trong R∗\mathbf{R}^* khi và chỉ khi họ (ui)(u_i) là khả tổng trong R\mathbf{R}. Bổ đề. (i) Nếu (ai)1≤i≤p(a_i)_{1 \leq i \leq p} là một dãy hữu hạn các số >0> 0, thì

∏i=1p(1+ai)≥1+∑i=1pai. \prod_{i=1}^p (1 + a_i) \geq 1 + \sum_{i=1}^p a_i.
(ii) Nếu thêm nữa ai<1a_i < 1 với mọi ii, thì
∏i=1p(1−ai)≥1−∑i=1pai. \prod_{i=1}^p (1 - a_i) \geq 1 - \sum_{i=1}^p a_i.

Các bất đẳng thức này là hiển nhiên nếu p=1p = 1, và được chứng minh bằng quy nạp theo pp. Nếu

∏i=1p−1(1+ai)≥1+∑i=1p−1ai, \prod_{i=1}^{p-1} (1 + a_i) \geq 1 + \sum_{i=1}^{p-1} a_i,
ta có
∏i=1p(1+ai)≥(1+ap)(1+∑i=1p−1ai)=1+∑i=1pai+ap⋅∑i=1p−1ai≥1+∑i=1pai. \prod_{i=1}^p (1 + a_i) \geq (1 + a_p) \left( 1 + \sum_{i=1}^{p-1} a_i \right) = 1 + \sum_{i=1}^p a_i + a_p \cdot \sum_{i=1}^{p-1} a_i \geq 1 + \sum_{i=1}^p a_i.
Tương tự, nếu
∏i=1p−1(1−ai)≥1−∑i=1p−1ai, \prod_{i=1}^{p-1} (1 - a_i) \geq 1 - \sum_{i=1}^{p-1} a_i,
ta có
∏i=1p(1−ai)≥(1−ap)(1−∑i=1p−1ai)=1−∑i=1pai+ap⋅∑i=1p−1ai≥1−∑i=1pai. \prod_{i=1}^p (1 - a_i) \geq (1 - a_p) \left( 1 - \sum_{i=1}^{p-1} a_i \right) = 1 - \sum_{i=1}^p a_i + a_p \cdot \sum_{i=1}^{p-1} a_i \geq 1 - \sum_{i=1}^p a_i.

Sau khi đã chứng minh bổ đề, ta nhận thấy rằng nếu họ (1+ui)(1 + u_i) là khả nhân thì các họ (1+ui+)(1 + u_i^+) và (1−ui−)(1 - u_i^-) cũng vậy, vì R∗\mathbf{R}^* là một nhóm đầy đủ (Chương III, § 5, no. 3, Mệnh đề 2); và ngược lại, nếu các họ (1+ui+)(1 + u_i^+) và (1−ui−)(1 - u_i^-) là khả nhân, thì (1+ui)(1 + u_i) cũng vậy (Chương III, § 5, no. 3, Mệnh đề 3). Do đó ta chỉ cần xét các trường hợp trong đó mọi uiu_i đều ≥0\geq 0 và trong đó chúng đều ≥0\geq 0.

Trước hết giả sử rằng ui≥0u_i \geq 0 với mọi ii. Nếu họ (1+ui)(1 + u_i) là khả nhân được, thì với mỗi ε>0\varepsilon > 0 tồn tại một tập con hữu hạn JJ của tập chỉ số trong II sao cho, với mỗi tập con hữu hạn HH của II rời nhau với JJ, ta có 1≤∏i∈H(1+ui)≤1+ε1 \leq \prod_{i \in H} (1 + u_i) \leq 1 + \varepsilon; theo (2) suy ra rằng ∑i∈Hui≤ε\sum_{i \in H} u_i \leq \varepsilon, điều này cho thấy rằng (ui)(u_i) là khả tổng trong R\mathbf{R} theo tiêu chuẩn Cauchy (Chương III, § 5, no. 2, Định lý 1).

Ngược lại, giả sử rằng (ui)(u_i) là khả tổng trong R\mathbf{R}. Với mỗi ε\varepsilon sao cho 0<ε<10 < \varepsilon < 1, tồn tại một tập con hữu hạn JJ của II sao cho, với mỗi tập con hữu hạn HH của II rời nhau với JJ, ta có 0≤∑i∈Hui≤ε0 \leq \sum_{i \in H} u_i \leq \varepsilon. Do (3), vì thế ta có ∏i∈H(1−ui)≥1−ε\prod_{i \in H} (1 - u_i) \geq 1 - \varepsilon; nhưng vì 1+u≤11−u1 + u \leq \frac{1}{1 - u} với mọi số uu sao cho 0≤u<10 \leq u < 1, suy ra rằng

1≤∏i∈H(1+ui)≤11−ε, 1 \leq \prod_{i \in H} (1 + u_i) \leq \frac{1}{1 - \varepsilon},

và điều này cho thấy rằng (1+ui)(1 + u_i) là khả nhân được (tiêu chuẩn Cauchy).

Chứng minh là tương tự khi tất cả các uiu_i đều ≤0\leq 0. Để chứng tỏ rằng (ui)(u_i) là khả tổng nếu (1+ui)(1 + u_i) là khả nhân được, dùng công thức (2) và bất đẳng thức 1−u≤11+u1 - u \leq \frac{1}{1 + u} (0≤u<10 \leq u < 1); để chứng tỏ rằng (1+ui)(1 + u_i) là khả nhân được nếu (ui)(u_i) là khả tổng, dùng công thức (3).

Trong Chương V (§ 4), việc nghiên cứu tôpô của nhóm R∗\mathbf{R}^* sẽ cho phép ta đưa ra một tiêu chuẩn khác cho tính khả nhân được của một họ trong R∗\mathbf{R}^* với sự trợ giúp của hàm lôgarit; trong một tập sau, chúng tôi sẽ thiết lập tính tương đương của tiêu chuẩn này với tiêu chuẩn ở trên, bằng cách dùng các tính chất vi phân của lôgarit.

5. Các họ khả tổng và các họ khả nhân được trong R‾\overline{\mathbf{R}}

Trên khoảng [0,+∞][0, + \infty] của R‾\overline{\mathbf{R}}, phép cộng là một luật hợp thành kết hợp và giao hoán (§ 4, no. 3); do đó khái niệm một họ khả tổng các số trong khoảng này được xác định (Chương III, § 5, no. 1, Nhận xét 3).

Mệnh đề 2

Mọi họ* (xi)(x_i) gồm các số thực ≥0\geq 0 đều khả tổng trong R‾\overline{\mathbf{R}}.

Vì ánh xạ H→sHH \to s_H của tập có hướng F(I)\mathfrak{F}(I) vào R‾\overline{\mathbf{R}} là tăng; do đó (§ 5, no. 2, Định lý 2) có một giới hạn.

Cùng lập luận ấy cho thấy rằng mọi họ số thực ≤0\leq 0 đều khả tổng trong R‾\overline{\mathbf{R}}.

Tương tự, phép nhân là một luật hợp thành kết hợp và giao hoán trên mỗi khoảng [0,1][0, 1] và [1,+∞][1, + \infty] của R‾\overline{\mathbf{R}}, và do đó khái niệm về một họ khả nhân được xác định trên mỗi khoảng ấy.

Mệnh đề 3

Mọi họ (1+ui)(1 + u_i) [resp. (1−ui)(1 - u_i)] các số ≥1\geq 1 (resp. ≥0\geq 0 và ≤1\leq 1) đều khả tích trong R‾\overline{\mathbf{R}}.

Chứng minh giống như đối với Mệnh đề 2.

Hệ quả

Tích ∏(1+ui)\prod (1 + u_i) [resp. ∏(1−ui)\prod (1 - u_i)] của các số ≥1\geq 1 (resp. >0> 0 và ≤1\leq 1) bằng +∞+ \infty (resp. 0) khi và chỉ khi ∑ui=+∞\sum u_i = + \infty.

Thật vậy, nếu ∑ui\sum u_i là hữu hạn thì ∏(1+ui)\prod (1 + u_i) và ∏(1−ui)\prod (1 - u_i) đều thuộc R∗\mathbf{R}^*, và ngược lại (no. 4, Định lý 4).

Nhận xét

Định lý về tính kết hợp (Chương III, § 5, no. 3, Định lý 2) vẫn đúng khi thay G bằng R‾\overline{\mathbf{R}} và giả thiết rằng các xix_i đều ≥0\geq 0. Điều này hiển nhiên nếu ∑i∈Ixi\sum_{i \in I} x_i là hữu hạn. Ngược lại, giả sử rằng ∑i∈Ixi=+∞\sum_{i \in I} x_i = + \infty. Khi đó với mỗi a>0a > 0 hữu hạn, tồn tại một tập con hữu hạn H của I sao cho ∑i∈Hxi≥a\sum_{i \in H} x_i \geq a. Gọi K là một tập con hữu hạn của L sao cho H⊂⋃λ∈KIλH \subset \bigcup_{\lambda \in K} I_\lambda; khi đó vì sλ≥∑i∈Iλ∩Hxis_\lambda \geq \sum_{i \in I_\lambda \cap H} x_i với mọi λ∈K\lambda \in K, ta có

∑λ∈Ksλ≥∑i∈Hxi≥a, \sum_{\lambda \in K} s_\lambda \geq \sum_{i \in H} x_i \geq a,
điều này cho thấy rằng ∑λ∈Lsλ=+∞\sum_{\lambda \in L} s_\lambda = + \infty. Chúng tôi để người đọc phát biểu mệnh đề tương tự cho các họ nhân được của các số trong [0,1][0, 1] hoặc trong [1,+∞][1, + \infty].

6. Chuỗi vô hạn và tích vô hạn của các số thực

Một chuỗi các số thực hữu hạn được gọi đơn giản là hội tụ nếu nó hội tụ trong R\mathbf{R}.

Định nghĩa 1

Một chuỗi các số thực hữu hạn được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi các giá trị tuyệt đối của các số hạng của nó hội tụ.

Mệnh đề 4

Một chuỗi các số thực hữu hạn là hội tụ giao hoán nếu và chỉ nếu nó hội tụ tuyệt đối.

Điều này suy ra từ Chương III, § 5, no. 7, Mệnh đề 9 và từ Định lý 3 của no. 2.

Nói cách khác, nếu (un)(u_n) là một dãy các số thực hữu hạn, thì nói rằng chuỗi có số hạng tổng quát là unu_n hội tụ giao hoán, hay hội tụ tuyệt đối, hay dãy (un)(u_n) là khả tổng trong R\mathbf{R}, đều là như nhau. Mọi tính chất của các họ khả tổng được chứng minh trong Chương III, § 5 vì thế đều áp dụng cho các chuỗi hội tụ tuyệt đối. Đặc biệt, nếu chuỗi có số hạng tổng quát là unu_n hội tụ tuyệt đối, thì tổng ∑n∈Hun\sum_{n \in H} u_n tồn tại với mọi tập con HH của N\mathbf{N}; và, nếu (Hp)(H_p) là một phân hoạch của N\mathbf{N}, thì ta có

∑n=0∞un=∑p(∑n∈Hpun) \sum_{n=0}^{\infty} u_n = \sum_p \left( \sum_{n \in H_p} u_n \right)
(tính kết hợp của các chuỗi hội tụ tuyệt đối).

Như chúng tôi đã nhận xét ở Chương III, § 5, một chuỗi số thực có thể hội tụ mà không hội tụ giao hoán, nghĩa là, không hội tụ tuyệt đối.

Ví dụ

Chuỗi phản xứng.* Một chuỗi được xác định bởi một dãy (un)(u_n) các số thực hữu hạn được gọi là phản xứng nếu un=(−1)nvnu_n = (-1)^n v_n, trong đó vn≥0v_n \geq 0 với mọi nn. Hãy chỉ ra rằng một điều kiện đủ để một chuỗi như vậy hội tụ là dãy (vn)(v_n) giảm và có 0 làm giới hạn. Thật vậy, nếu sns_n ký hiệu

∑p=0nup, \sum_{p=0}^{n} u_p,
thì giả thiết rằng (vn)(v_n) giảm kéo theo
s2n+1≤s2n+3≤s2n+2≤s2n s_{2n+1} \leq s_{2n+3} \leq s_{2n+2} \leq s_{2n}
với mọi n≥0n \geq 0. Dãy (s2n)(s_{2n}) [tương ứng (s2n+1)(s_{2n+1})] giảm và bị chặn dưới (tương ứng tăng và bị chặn trên), do đó có một giới hạn hữu hạn aa (tương ứng bb), và b≤ab \leq a; vì
a−b=lim⁡n→∞(s2n−s2n+1)=lim⁡n→∞v2n+1=0, a - b = \lim_{n \to \infty} (s_{2n} - s_{2n+1}) = \lim_{n \to \infty} v_{2n+1} = 0,
mệnh đề được chứng minh.

Chẳng hạn nếu lấy vn=1/nv_n = 1/n, thì các điều kiện trên được thỏa mãn, và do đó chuỗi có số hạng tổng quát là (−1)n/n(-1)^n / n ("chuỗi điều hòa phản xứng") là hội tụ. Ta đã thấy ở no. 1 rằng chuỗi có số hạng tổng quát là 1/n1/n ("chuỗi điều hòa") thì không hội tụ, và vì thế chuỗi điều hòa phản xứng không hội tụ tuyệt đối.

Ta nhắc lại (Chương III, § 5, no. 6, Mệnh đề 7) rằng, nếu (un)(u_n) và (vn)(v_n) là hai chuỗi hội tụ gồm các số thực hữu hạn, thì chuỗi (un+vn)(u_n + v_n) là hội tụ, và

∑n=0∞(un+vn)=∑n=0∞un+∑n=0∞vn; \sum_{n=0}^{\infty} (u_n + v_n) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n + \sum_{n=0}^{\infty} v_n;
hơn nữa, nếu chuỗi (un)(u_n) hội tụ thì chuỗi (aun)(au_n) hội tụ với mọi số thực hữu hạn aa, và ∑n=0∞aun=a⋅∑n=0∞un\sum_{n=0}^{\infty} au_n = a \cdot \sum_{n=0}^{\infty} u_n.

Cuối cùng, nếu các chuỗi (un)(u_n) và (vn)(v_n) hội tụ, và nếu un≤vnu_n \leq v_n với mọi nn, thì ta có ∑n=0∞un≤∑n=0∞vn\sum_{n=0}^{\infty} u_n \leq \sum_{n=0}^{\infty} v_n theo nguyên lý mở rộng các bất đẳng thức (§ 5, no. 2, Định lý 1).

Cần lưu ý rằng, nếu ta giả sử chuỗi (vn)(v_n) hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối, và nếu ∣un∣≤∣vn∣|u_n| \leq |v_n| với mỗi nn, thì hoàn toàn không thể suy ra rằng chuỗi (un)(u_n) hội tụ, như thấy được khi lấy un=∣vn∣u_n = |v_n|.

Một tích vô hạn các số thực hữu hạn khác không được gọi đơn giản là hội tụ nếu nó hội tụ trong R∗\mathbf{R}^*; khi đó giá trị của nó là một số thực hữu hạn khác không.

Định nghĩa 2

Một tích vô hạn có nhân tử tổng quát là 1+un1 + u_n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích có nhân tử tổng quát là 1+∣un∣1 + |u_n| hội tụ.

Mệnh đề 5

Một tích vô hạn các số thực hữu hạn là hội tụ giao hoán khi và chỉ khi nó hội tụ tuyệt đối.

Điều này suy ra từ Chương III, § 5, no. 7, Mệnh đề 9, và từ Định lý 4 ở trên.

Hơn nữa, tích có nhân tử tổng quát là 1+un1 + u_n là hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi chuỗi có số hạng tổng quát là unu_n là hội tụ tuyệt đối.

Một tích các số thực khác không có thể hội tụ mà không hội tụ giao hoán, nghĩa là không hội tụ tuyệt đối.

Ví dụ

Nếu ta lấy u2n−1=−1/nu_{2n-1} = -1/n và u2n=1/nu_{2n} = 1/n với n≥2n \geq 2, thì tích (1+un)(1 + u_n) không hội tụ tuyệt đối, vì chuỗi (un)(u_n) không hội tụ tuyệt đối; nhưng vì

∏p=3n(1+up)=∏p=2n(1−1p2), \prod_{p=3}^{n} (1 + u_p) = \prod_{p=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right),
và
∏p=32n+1(1+up)=(1−1n+1)∏p=2n(1−1p2), \prod_{p=3}^{2n+1} (1 + u_p) = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) \prod_{p=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right),
nên suy ra từ Định lý 4 rằng tích ấy hội tụ và giá trị của nó là
∏n=2∞(1−1n2). \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right).

Hơn nữa, cần nhận thấy rằng sự hội tụ của chuỗi có số hạng tổng quát là unu_n không phải là điều kiện cần cũng không phải là điều kiện đủ cho sự hội tụ của tích có nhân tử tổng quát là 1+un1 + u_n (xem Bài tập 21 và 22).

Bài tập

Xem bài tập của § 7.

Machine translation of the English, by gpt-5.4, against glossary version 34. Not checked by a person.