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8. 通常展开的实数； R 的幂

1. 实数的近似值

令$A$为$\mathbf{R}$的稠密子集。对于每个$x \in \mathbf{R}$和每个$\varepsilon > 0$，从缺陷（或过量）到$x$到$\varepsilon$属于到$A$之间都有一个近似值，因为间隔$]x - \varepsilon, x[$（或$]x, x + \varepsilon[$）包含至少有一个点 $A$。如果我们现在考虑给定的严格递减序列 $(\varepsilon_n)$ 的数 $> 0$，趋向于 0，并且如果 $r_n$ 是 $x$ 在 $\varepsilon_n$ 内的近似值，则序列 $(r_n)$ 有$x$、极限、$n$趋于无穷大。

In the case where $A$ is a subgroup of the additive group $\mathbf{R}$, and we restrict the $\varepsilon_n$ to belong to $A$, we can define canonically for each $x \in \mathbf{R}$ a sequence $(r_n)$ of approximations to $x$ by defect, belonging to $A$.

根据阿基米德公理 (§ 2, no. 1, 定理 1)，整数 $p$ 的集合使得 $p \varepsilon_n \leq x$ 有最大元素 $p_n$；在其他字中，有一个独特的整数$p_n$使得

从 $|x - p_n \varepsilon_n| \leq \varepsilon_n$ 开始，$p_n \varepsilon_n$ 是$x$ 的近似值，通过缺陷在 $\varepsilon_n$ 范围内，以及属于通过假设到 $A$ 的近似值；同样，$(p_n + 1) \varepsilon_n$ 是$x$ 到$\varepsilon_n$ 的近似值，属于到$A$，并且两个序列、$(p_n \varepsilon_n)$ 和$((p_n + 1) \varepsilon_n)$ 将$x$ 作为其极限。

2. 实数的展开相对于基序列

我们将极限自己研究$\varepsilon_n = 1/d_n$的情况，其中$(d_n)$是整数的严格递增的序列，使得$d_0 = 1$和$d_n$对于$n \geq 1$来说是$d_{n-1}$的倍数。令 $a_n = d_n / d_{n-1}$ ($n \geq 1$): $a_n$ 为整数 $> 1$。在这种情况下，缺陷$r_n = p_n / d_n$的近似值序列是递增，因为$p_n$是最大的整数，使得$p_n / d_n \leq x$；但我们有

这样$a_n p_{n-1} \leq p_n < a_n p_{n-1} + a_n$，因此$r_{n-1} \leq r_n \leq x$。让

3. 定义实数通过其展开

相反，假设我们给出了整数的整数 $q_0$ 和序列 $(v_n)$ ($n \geq 1$)，使得 $0 \leq v_n \leq a_n - 1$；我们问是否存在数 $x$，其展开 (4) 对于所有 $n$ 都满足 $p_0 = q_0$ 和 $u_n = v_n$。如果这样的数存在，那么它是唯一的，因为它等于

相反，令$x$为有理数数，对于$n$的某些值，可以将其写成分母为$d_n$的分数的形式。令 $m$ 为最小的整数，使得 $x$ 为形式 $k/d_m$ ($k$ 整数)；我们对$n < m$和$r_m = x$有$r_n < x$，因此$x$的展开是形式（5），并且$x$有一个由（6）给出的不正确的展开；此外，这个不正确的展开是*独特的*。

有理数数，用不可约形式 $p/q$ 写成，等于分母为 $d_n$ 的分数当且仅当 $q$ 除 $d_n$（数 $m$ 因此将是最小的整数$n$使得$q$除$d_n$）。可能会发生*每个有理数*都有这个性质（对于适当选择的$n$）：当且仅当每个整数$> 0$除一些$d_n$，例如，如果$d_n = n!$如果$d_n$有这个性质，那么数是有理数当且仅当它的展开相对于序列$(d_n)$终止。

总结一下：对于每个序列$s$，其初始项$q_0$是任意整数，并且其项$v_n (n \geq 1)$使得$0 \leq v_n \leq a_n - 1$，对应实数等于$q_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{d_n}$；如果 $I_n$ 表示 $\mathbf{N}$ 的区间 $[0, a_n - 1]$，则我们将 $X = \mathbf{Z} \times \prod_{n=1}^{\infty} I_n$ 的定义映射 $\varphi$ onto 实直线 $\mathbf{R}$；此外，如果$x$不是分母为$d_n$的分数（对于某些$n$），则方程$\varphi(s) = x$（其中给定$x \in \mathbf{R}$）有*一*解，否则有*二*解。

4. 展开比较

如果我们知道两个不同的实数、$x$和$y$的展开，我们就可以确定，无论是$x < y$还是$x > y$。

设$x = p_0 + \sum_{n=1}^{\infty} u_n / d_n$、$y = q_0 + \sum_{n=1}^{\infty} v_n / d_n$为$x$和$y$中的展开。如果 $p_0 < q_0$ 那么 $x < y$，因为

更一般地，假设 $p_0 = q_0$ 和 $u_n = v_n$ 对应 $1 \leq n \leq m$，但$u_m < v_m$；如果

然后$r_n = s_n$代表$n < m$，从$u_m + 1 \leq v_m$开始，$r_m + \frac{1}{d_m} \leq s_m$；但是$r_m \leq x < r_m + \frac{1}{d_m} \leq s_m \leq y$，因此我们又得到了$x < y$。在其他字中，$x$和$y$的*阶与它们各自的展开*的前两个不同的项的阶相同。

由此可见，如果$p_0 = q_0$和$u_n = v_n$对于$n < m$，则到端点为$x$和$y$的闭区间的每个数$z$属于的展开的第一个$m$项为与$x$和$y$的展开*相同*。

我们还注，在这种情况下，我们有$|y - x| \leq \frac{1}{d_{m-1}}$。如果我们赋予$\mathbf{Z}$和间隔$I_n$*离散*拓扑，那么上面定义的映射$\varphi$是*乘积空间*$X$上的*连续*。

5. 展开至基 A

最重要的基序列是$d_n = a^n$，其中$a$ 是整数 $> 1$； $a$ 则被称为相应的展开的 基数（或简称为 基）。对于数值计算，使用展开到基10，称为*十进制展开*；还经常使用展开至基2（*二元*展开）和基3（*三元*展开）。

为了表示缺陷$r_n$至数$x \geq 0$的近似值，在其展开至基$a$中，采用以下符号：每个整数$u$使得$0 \leq u \leq a - 1$由特定符号表示；如果

我们首先借助这些符号记下整数$p_0 = [x] \geq 0$的表示到基$a$（*集合理论*，章III, § 5, no. 7），然后我们把点（“十进制”） 点”），我们依次写出代表数$u_1, u_2, \ldots, u_n$的符号。如果S是由此获得的符号，则习惯上写为$x = S...$，这是滥用语言。应该一劳永逸地理解，这样的关系只是方法的缩写，表示右边是缺陷到$1/a^n$以内的对$x$的近似。

对于负数数，既定用法有所不同：我们在上述符号体系中写出$x' = -x > 0$的近似值，并在其前面加上符号“—”；因此，它是 $x$ 的近似值，在 $1/a^n$ 内，超出了如此表示的值。

这种用法对于数值计算有其不便。在记号中，负对数采用与正数相同的符号，通过在积分部分上放置一条横线，表示它等于所写的数的负数。

6. R 的幂

我们有 $\mathbf{R} = \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} [n, n+1[$，所有区间 $[n, n+1[$ 都等价于 $[0, 1[$。由于 $[0, 1[$ 是无限集合，因此 $\mathbf{R}$ 等价于区间 $[0, 1[$。通过考虑区间$[0, 1[$的数的二进展开，我们将证明该区间等价于所有序列$(u_n)$的集合S，其中每个项等于0或1。

首先，它与序列 $(u_n)$ 的 S 由……组成的子集 $S'$ 等价，使得 $u_n = 0$ 对于值 $n$ 的无穷大。另一方面，S 中$S'$的补$S''$等价于有理数的所有假展开的集合，它们等于分母$2^n$的分数； $\mathbf{Q}$的这些数形式子集，因此其中集合是可数的，因此$S''$也是可数的。由于 $S'$ 是无穷大，因此它与 S 等价，因此得出结果。

现在S等价于$\mathfrak{P}(\mathbf{N})$；因为我们可以将$\mathfrak{P}(\mathbf{N})$的定义双射通过映射到$\mathbf{N}$的每个子集A到序列$(u_n)$，使得$u_n = 0$如果$n \in A$并且$u_n = 1$ 如果$n \notin CA$。由此我们证明了：

习题

参见习题为 § 8。