Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

历史注记

（括号内的数指本注末尾的参考书目。）

每一次数量的测量都意味着实数的模糊概念（我们将在章V, § 2中看到其确切原因）。从数学点的角度来看，实数理论的起源可以追溯到巴比伦人逐渐形成的系统计数法，它（在原理中）能够表示任意接近于任何实数的近似值[1]。拥有这样的系统，以及由此自然产生的对数值计算的信心，不可避免地导致了实数的“天真”概念，这与今天基础教育以及物理学家和工程师中流行的（与计数小数系统相关）几乎没有什么不同。这个概念不能是精确定义的，但是可以用说来表示，数被认为是通过找到它的近似值并在计算中使用这些近似值的可能性来定义的；这必然意味着物理量的测量之间存在一定程度的混淆，物理量当然不易受到逐渐逼近的无限级数和诸如$\sqrt{2}$之类的“数”的影响（假设一个人拥有一种算法，该算法可以使逐渐逼近的无限级数成为可能，这样的数）。

类似的“务实”态度出现在所有数学学校中，计算方面的专业知识比严谨性和理论更重要。然而，后者在希腊数学中占主导地位。正是希腊人为我们提供了第一个严格且连贯的大小比理论，即本质上的实数理论。这一理论是级数关于比例，特别是不可通约比率的发现的顶峰，其在希腊思想史上的重要性几乎不能被夸大，但在缺乏准确文本的情况下只能从轮廓上辨别出来。早期阶段的希腊数学与关于比例、相似性和比率的推测、部分科学的和部分哲学和神秘的推测密不可分，尤其是“简单比率”（用小分子和分母用分数表示）；毕达哥拉斯学派学校的特征倾向之一是试图解释整数的项和整数的比率。但事实上，是毕达哥拉斯学校发现平方的对角线与其边不可通约（在其他字中，$\sqrt{2}$是无理数）。毫无疑问，这是数学中不可能的证明中的第一个例，提出这样一个问题本身就意味着比率和近似值之间的明显区别，并表明希腊数学家与其前辈之间的巨大差距（*）。

我们对伴随这一重要发现并随之而来的思想运动知之甚少（**）。我们将仅简要概述大小比理论基的主要思想，该理论由伟大的数学家欧多克索斯（柏拉图的当代朋友）构建，最终被古典希腊数学所采纳，并通过欧几里得的*元素* [2]为我们所知，其中以精湛的方式描述了它（在《数学家》的第V书中）。 元素):

i) 字和 数 的概念严格保留为自然整数 > 1（1 是单子，严格来说，不是数），不仅排除我们的无理数数，而且排除我们所谓的有理数数：对于古典时期的希腊数学家来说，后者是数。这里不仅仅是一个简单的术语问题：字“数”对于希腊人（以及直到最近的现代人）来说与*系统与*的想法联系在一起

() $\sqrt{2}$ 是无理数的发现被一些人归因于毕达哥拉斯本人，但似乎没有足够的权威；其他人则认为是公元前五世纪的毕达哥拉斯学派。C。根据柏拉图在他的《泰阿泰德》中的权威，昔兰尼的狄奥多罗斯被认为具有 $\sqrt{3}, \sqrt{5},$ 的非理性性的证明“等等直到 $\sqrt{17}$”，随后泰阿泰德似乎已经获得了 $\sqrt{N}$ 的一般证明（N 是任意整数，这不是完美的） 平方）或至少（如果狄奥多鲁斯的证明在原理中是一般的）或者至少（如果可能是这种情况的话）已经对非理性数的某些型进行了分类。我们不知道这些第一个证明的非理性是算术的还是几何的；关于点，请参阅 G. H. Hardy 和 E. M. Wright，数* 理论简介，牛津，1938 年，章 IV； cf. 也是 Thomas Heath 爵士，*希腊数学史*，2 卷，牛津，1921 年； H. Vogt，Entdeckung des Irrationalen...，*Bibliotheca Mathematica* (3) 10 (1909)，p. 97，以及 H. Hasse 和 H. Scholz，*Die Grundlagenkrise der griechischen Mathematik*，（Pan-Verlag），1928。

(**) 关于这个主题，请特别参考 O. Becker 和 O. Toeplitz 的文章 Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik (Abt. B, Studien)，第 1 卷。 1、2、3，柏林（施普林格），1931-36；以及前面注和B.L中引用的作品。 van der Waerden、Zenon und die Grundlagenkrise...，*数学。安.*，117 (1940)，p. 141。

合成中的两个律（加法和乘法）； 整数的比率被古典希腊数学家视为运算符，定义在整数的集合或集合的某些子集上[$p$与$q$的比率是应用于$\mathbf{N}$的运算符，如果$\mathbf{N}$是$q$的倍数，给出整数$p \cdot (\mathbf{N}/q)$]，并且用两个合成的律形成乘法群但不是系统。在这一点上，希腊数学家自愿将自己与“逻辑学家”或专业计算器分开，后者像他们的埃及和巴比伦前辈一样，毫无顾忌地将分数视为数，或者在整数上加上一个分数。而且，这种对数概念的自我强加的限制似乎是出于哲学而非数学动机，并且遵循了第一批希腊思想家对单位和倍数的反思； 单位（在这个系统思想中）无法细分，而不会因此失去单位的特征标（*）。

2) 量值理论基于公理，它同时适用于所有量值型（这里暗示了早期的理论，这些理论显然是单独处理长度、面积、体积、时间等）。相同型的大小的特点是它们可以比较（也就是说，假设定义了等式，即等价关系，并且定义了关系>和<），它们可以相加和相减（定义了A + B，如果A > B也定义了A - B），并且它们满足“阿基米德”公理”（定理 1 of § 2）。从一开始就清楚地意识到，后一个事实是整个大厦的基石（事实上，它在任何公理刻画或实数；cf.章V, § 2中都是不可或缺的）。它归因于阿基米德纯粹是偶然的：在他的“抛物线求积”[3] 的介绍中，阿基米德强调该公理已被他的前辈使用，它在欧多克索斯的工作中发挥了重要的部分，并且它的推论的确定性不亚于在没有其帮助的情况下执行的面积和体积的确定（**）。

我们将在章V, § 2中看到，实数的理论如何是这个公理基础的必要推论。 注，对于 Eudoxus，给定型形式系统的大小有一个内部

(*) 柏拉图（《理想国》，书VII，525 e）嘲笑计算器“将除向上单位变成小变换”，并告诉我们，在计算器除的地方，哲学家进行乘法；在数学语言中，这意味着，对于例，两个比率$a/b$和$c/d$的等式被证明，而不是通过将$a$除以$b$和$c$除以$d$，这通常会导致分数的计算（这就是埃及人或埃及人的方式）巴比伦人会这样做），但是通过验证 $a.d = b.c$；以及其他类似的事实。

(**) 这显然是对尚未归结于我们的争论的暗示；它让人想起一位现代数学家谈论策梅洛公理。

合成（加法）的律，但是这个系统有合成的外法则，其运算符是大小比，被设想为形成阿贝尔的乘法群。 如果 A 和 A' 是相同型的量值，并且如果 B 和 B' 是相同型的量值，则如果对于所有整数 m 和 m'，关系 mA < m'A' 意味着 mB < m'B'，并且 mA > m'A' 意味着 mB > m'B'，则 A 与 A' 和 B 与 B' 的比率被定义为相等。 比率之间的不平等由类似的方法定义。 这些比率形式是每个型大小的算子域，等价于第四个比例存在的公理（没有明确说明，但在欧几里得的论述中经常使用）：如果给定比率A/A'，并且给定B，则存在与B相同的型的B'，使得B/B' = A/A'。 因此Eudoxus的绝妙想法使他能够认同由不同型大小（*）定义的所有算子域；类似地，整数的比率（见上文）的集合可以与大小比率的子集或集合等同，即有理比率（或可通约大小的比率）的集合；然而，由于这些比率被视为整数的算子，（通常）仅在子集或集合或整数上定义，因此有必要单独发展他们的理论（欧几里得的书VII）。

对于希腊数学家来说，这样构建的运算符的通用域相当于我们的集合或实数；此外，很明显，凭借加法的星等和乘法的星等比率，它们所拥有的相当于我们的域或实数的水平，尽管形式的管理性要差得多（**）。另一方面，人们可能会问他们是否认为这些集合（给定型的量值的集合，或量值之比的集合）是完整的

() 因此，它为早期希腊数学家的工作赋予了完全的严谨性，一旦他们能够证明所有有理比，他们就将定理视为已建立的比例。 显然，在欧多克斯时代，之前有人试图提出构造一种理论，该理论可以通过用现代语言中表达该比率的连分数的项来定义两个量级的比率A/A'来达到相同的目的；这些尝试是算法（名为之后 Euclid）的自然产物，用于查找 A 和 A' 的公共的度量（如果存在）（或用于确定最高公共的因子）。 比照。 O 的文章 贝克尔在上面引用了[注 (*)] on p. 407）。

(**) 如此笨拙，以至于在阶将巴比伦人的代数科学翻译成他们的语言时，希腊数学家不得不系统地使用一种完全不同的阶的方法，即两个长度之间的对应以及以这两个长度为边构建的矩形的面积；严格来说，这不是合成的律，并且不允许方便地表达大于2的次数的代数关系。

应该注意的是，在整个注中，我们忽略了负数的问题。

在我们看来。否则，尚不清楚为什么他们应该假设第四个比例的存在（甚至没有意识到有必要将其作为公理）；此外，一些文本似乎提到了这种性质的想法；他们当然认为不言而喻的事实是，可以通过连续运动不能从一条线的一侧传递到另一侧而不切断线，原理，他们在研究立方体的复制（$\sqrt[3]{2}$的构造乘以交曲线）时使用了例，并且本质上等价于有问题的性质；然而，流传下来的文本并不能让我们完全准确地辨别他们对此点的想法。

这就是希腊数学古典时期实数理论的状态。令人钦佩的虽然欧多克索斯的构造是，在严谨性和连贯性方面没有什么值得期待的地方，但必须承认它缺乏灵活性，不利于数值计算的发展，更不利于代数计算的发展。此外，除了那些热爱严谨和熟悉抽象的人之外，它的逻辑必然性是不明显的。因此，随着希腊数学的衰落，逻辑学家传统中保留下来的“朴素”点观点自然会逐渐重新出现。这种点的观点对于丢番图[4]中的例来说占主导地位，他实际上是这一传统的支持者，而不是希腊官方科学的支持者；他敷衍地再现了数的欧氏定义，但实际上他用字“数”来表示代数问题中的未知数，其解可以是整数，也可以是分数，也可以是无理数数 (*)。尽管对数的这种变换态度与数学史上最重要的进步之一，即代数的发展有关，但它本身并不构成进步，而是倒退。

我们在这里不能追溯了数概念在印度教、阿拉伯和西方数学中直至中世纪末期的变迁。 数的“天真”概念占主导地位，尽管欧几里得的元素在这一时期充当了数学教学的基，但欧多克索斯的学说很可能仍然普遍未被理解，因为人们不再认识到它的必要性。欧几里得的“比率”习惯上被描述为“数”，并应用了整数的计算规则，而没有尝试分析这些方法成功的原因。

(*)“因此‘数’是非理性的”，丢番图，书IV，问题IX。关于回到数的天真的概念，cf.也是Eutocius，在他的《阿基米德评论》中（[3]，第3卷，第二版的p. 120-126=第一版的第140-148页）。

尽管如此，我们看到R. Bombelli早在16世纪中叶就在他的代数[5]（*）中阐述了关于这个问题的点观点，这基本上是正确的（假设欧几里得第V书的结果是已知的）；意识到一旦选择了长度的单位，长度和大小比之间就存在一对一的对应，他定义在长度上的各种代数运算（当然假设单位已被固定）并且表示数乘长度，得到实数的域的几何定义（点的观点通常归功于笛卡尔），从而为他的代数提供了坚实的几何基础（**）。

但邦贝利的代数、虽然在当时是非常先进的，并没有超出通过第二、第三和第四次数方程的根式提取根式和解；当然，无需任何讨论就假设提取部首的可能性。 Simon Stevin [6] 对数的主题采取了类似的观点；对他来说，数表示大小的度量，并且被认为本质上是“连续的”（没有给出字的精确含义）。如果他区分“几何数”和“算术数”，那只是因为它们的定义模的偶然性，而不是因为本质上的差异。他关于这个主题的最后一篇字如下：“我们结论因此，不存在荒谬的、非理性的、不规则的、无法解释的或可笑的数，但它们具有如此卓越和一致性，以至于我们需要夜以继日地冥想它们令人钦佩的完美”（[6]，p. 10）。另一方面，他是第一个使用十进制分数作为方法计算的，并为他们提出了记号，这与我们的非常接近；他清楚地看到，这些分数提供了一种无限接近任何实数的算法，正如他1594年的附录代数所示，“包含是所有方程的一般规则”（这本小册子的唯一已知副本于1914年在鲁汶被烧毁；但请参阅[6]，第1卷， p. 88）。这样的方程写成形式 $P(x) = Q(x)$ [其中多项式 $P$ 的次数大于多项式 $Q$ 的次数和 $P(0) < Q(0)$]，他代入 $x$ 数 10, 100, 1000，...直到他找到 $P(x) > Q(x)$，他说，确定数是根中的数字；然后（如果例根有两位数）他用 10, 20, ... 其中确定代替

(*) 我们在这里关注的是他的代数的第 IV 本书，该书直到现代才出版；就我们的目的而言，邦贝利在这个问题上的思想是否为他的同时代人所知并不重要。

(**) We do not enter here into the history of the use of negative 数, which is within the framework of 代数.尽管如此，让我们注，邦贝利在同样的语境中，非常清晰地给出了纯粹形式的定义（就像人们在现代的代数中看到的那样），不仅是否定的数，而且还给出了复数。

数十个；然后对于单位的数，然后对于连续的十进制数字：“并以这种方式无限地进行”，他说，“我们无限接近所需的数”（[6]，p. 88）。正如我们所看到的，斯蒂文准确地理解了定理 2 的想法（并且毫无疑问是第一个拥有它的人），并认识到这个定理是系统化数值方程解的基本工具；同时我们可以看到，他对数值连续体有如此清晰的直观概念，以至于几乎不需要做任何事情就可以使其绝对精确

然而，在接下来的两个世纪里，正确的方法的最终确立两次被两个历史不属于这个注框架内的理论的发展所阻碍：无穷小演算理论和级数理论。 在他们引发的讨论中，我们看到，就像在数学史上的所有时期一样，在那些以一些不安全感为代价寻求推进的人之间永远保持着平衡，他们相信以后总会有时间来巩固所征服的领土，而那些具有批判性思维的人（在直觉天赋和发明天才的点方面不一定逊色）相信，当他们致力于精确的公式化和严格的论证时，他们的精力并没有浪费。构想。 十七世纪争论的主要主题是“无限”小的概念，虽然通过其帮助获得的结果证明了$a posteriori$的合理性，似乎公开反对阿基米德公理；我们看到这个时期最开明的思想最终采用了点的观点，它与邦贝利的观点几乎没有什么不同，最重要的是它更加关注古人严谨的方法。 艾萨克·巴罗（牛顿的老师，他本人在无穷小演算的创造中扮演了重要的部分）在1664年5月6日于剑桥举行的数学讲座中对这一观点进行了精彩的阐述[7]；认识到需要回到阶中的欧多克索斯理论，以重新获得数主题中众所周知的“几何确定性”，他在长度提出了对欧多克索斯理论的极其明智的辩护（根据巴罗的证据，该理论对于他的许多同时代人来说仍然难以理解），反对那些指责该理论晦涩甚至荒谬的人。 另一方面，将数定义为表示大小比的符号，并且能够与算术中的运算组合，巴罗在项中获得了实数的域，牛顿在他的算术中再次采用了这一点，而他的后继者直到戴德金和康托都没有变换。

但正是在这个时期，引入了级数中展开的方法；这在不知悔改的代数学家手中迅速呈现出一种完全形式化的特征标，并转移了数学家对收敛问题的注意力，而收敛问题对于级数在实数领域的合理使用至关重要。牛顿，方法的主要创造者，当然意识到考虑这些问题的必要性。如果他没有充分阐明它们，他至少意识到他引入的幂级数至少“通常”收敛于变量的小值的几何级数（其收敛性已为古人所知）[8]。大约在同一时间，莱布尼茨观察到，交错的级数的项绝对值值减少并趋于0是收敛的。在接下来的一个世纪中，达朗贝尔于1768年对非收敛级数的使用提出了质疑；但伯努利学派，尤其是欧拉的权威，使得对这种性质的怀疑在这一时期显得异常罕见。

显然，习惯于使用级数进行数值计算的数学家绝不会如此忽视概念的收敛性；在这个领域和许多其他领域，第一个引领正确方法回归的人是一位年轻时就热爱数值计算的数学家，这绝非偶然。 C.F。高斯在几乎还是个孩子的时候就练习过算术几何平均（*）的算法，几乎不可能无法形式清楚地概念到极限；在 1800 年的片段中（但在我们这个时代首次发表）（[9]，卷X1，p. 390），他给出了最小上界和下确界的精确定义，以及实数的序列的上极限和下极限；他似乎认为边界的存在（对于有界的序列）是显而易见的，并且上极限和下定义正确地作为极限，因为$n$分别倾向于$+\infty$、$\sup_{p \geq 0} u_{n+p}$和$\inf_{p \geq 0} u_{n+p}$。

另一方面，在他 1812 年关于超几何级数（[9]，卷III，p. 139）的回忆录中，高斯给出了第一个关于收敛性讨论的模型，正如他所说，“完全严格地，并针对那些偏爱古代严格的方法的人提出了满足”。几何学家”。 确实，这个在回忆录中占据次要地位的讨论并没有回到级数理论的第一个原理； 柯西在 1821 年的《分析教程》[10] 中，首先从柯西准则（明确说明，并假定为不言而喻）开始，以正确的方式在每个点中建立了这些。 由于他将巴罗和牛顿观点的点放在数的定义上，因此可以说，对于柯西来说，实数是由公理大小和柯西准则定义的；事实上，这足以定义他们（参见章V, § 2）。

(*) 如果给定$x_0, y_0$和$> 0$，则令$x_{n+1} = (x_n + y_n)/2$和

与此同时，另一个理论的重要方面实数得到了明确的澄清。正如我们所说，人们一直认为，两条连续曲线不能叉积彼此不相交，在几何上是显而易见的——原理（适当地使其精确）再次相当于实直线的完整性（作为统一的空间）。这个原理位于达朗贝尔的定理的“严格”证明（由高斯在1799年给出）的基，根据该定理，每个具有实数系数的多项式都有一个实数或复数根（[9]，第III卷， p. 1);高斯在 1815 年给出的相同定理（[9]，第III，p. 31）的证明，正如拉格朗日的早期尝试一样，依赖于类似但更简单的原理，即多项式不能变换符号不消失；这是定理 2 of 的一个特例，我们已经看到 Stevin 使用过它。 1817 年，博尔扎诺在柯西准则的基础上给出了后一个原理的完整证明，他将其作为实变量的连续实值函数的类似定理的特例获得[11]。他清楚地阐明了“柯西准则”（之前柯西做到了），并试图通过一个论证来证明它的合理性，在没有任何算术定义或实数的情况下，它只是也只能是一个恶性循环；但是，一旦这个点被接受，他的工作就是完全正确的，也是最引人注目的，因为它包含不仅是连续函数的现代定义（这里第一次给出），具有多项式连续性的证明，而且还有下确界存在性的证明实数的任意有界集合（他说的不是集合，而是实数的性质，这也是同样的事情）。 Cauchy 在他的 Cours d’Analyse [10] 中还定义了一个或多个实变量的连续函数，并通过与 Simon Stevin 使用的相同的推理证明了一个变量不能变换的连续函数符号不会消失。一旦连续性被定义，如果调用柯西准则，这个推理就变得正确了（或者如果像柯西在这个点所做的那样假设，等价于“嵌套区间”的原理；小数分数的收敛当然只是这个原理的一种特殊情况）

一旦到达这个点，数学家剩下的任务就是通过纠正各种错误和填补各种空白来精确和扩展所获得的结果。对于例，柯西曾经认为，一个收敛的级数，其项是一个变量的连续函数，其和具有连续的函数。阿贝尔在级数（[12]，第 1 卷，p. 219；cf. 以及第 2 卷，p. 257 和 passim）的重要工作过程中对这个点进行了纠正，最终导致了 Weierstrass 对一致收敛概念的阐明（在他的讲座中，该讲座尚未发表，但影响相当大；参见历史注记至章X）。柯西再次假设，在没有充分论证的情况下，在他的多项式根存在性的证明之一中存在连续函数的最小值；再次，Weierstrass 通过证明（在他的讲座中）定理 1 of § 6 for 函数实变量（在有界闭区间上定义）阐明了这种性质的问题。在他批评函数的定理到集合的不合理应用（“狄利克雷的原理”是最著名的例）之后，开始了思想运动，正如我们在历史注记到章I中看到的那样，正如我们所给出的，紧凑型空间的定义以及定理的现代叙述。

与此同时，韦尔斯特拉斯在他的讲座中认识到使实数的概念完全独立于量值理论的逻辑重要性；后者实际上等价于直线的点的公理定义（因此实数的集合）和集合存在的假设；尽管这个方法本质上是正确的，但显然最好只从有理数数开始，并通过完成（*）从它们开始构造实数。这是由不同的方法且彼此独立地实现的，由 Weierstrass、Dedekind、M\'eray 和 Cantor 实现； Dedekind[13]提出的“削减”的方法非常接近Eudoxus的定义，而提出的其他方法则接近于本文中阐述的级数。同时康托尔开始发展实数的集合论，其思想最早由戴德金提出（见章I参考书目），并由此得到了拓扑、实直线、结构的开闭式的主要基本结果集合的派生集合、概念以及完全断开完美集合等；他还在连续统的幂上获得了§ 8的定理 1，并由此推断连续统是不可数的，先验数的集合具有连续统的幂，并且（在当时是一个矛盾的结果）平面（或空间）的点的集合与直线的点的集合具有相同的幂。

对于康托尔来说，章中研究的问题实际上假定了其确定的形式。我们参考历史注记对章I的直接的康托工作的影响；让我们简要指出它所延伸的方向。除了领导工作之外

(*) 存在性的问题，即，在现代语言中，实数理论的不矛盾性，因此被带回到理性数的类似问题，前提是抽象的集合理论始终假设已知（因为完成涉及无限集合的任意子集的概念）；在其他字中，一切都被简化为抽象的集合理论，因为有理数可以从该理论构建（参见集合理论，章III, § 4）。 另一方面，如果我们不假设抽象的集合理论，就不可能实现实数理论与算术理论的不矛盾性约化，而需要提供实数理论的独立公理化刻画。

一般拓扑（参见章I）和积分应用，这将在本级数的其他地方彻底处理，Cantor的工作导致了对结构的研究和点在线上的集合分类，以及实值函数的研究变量。这些起源于 Borel [14] 的工作，该工作主要针对测度论，但除其他外，还导致了“Borel 集合”的定义，即集合属于到$\mathbf{R}$的子集的最小的族，其中包含所有区间，并且对于并和可数交以及关于运算 $\mathscr{C}$ (cf. 章 IX, , no. 3) 是封闭的。这些集合与所谓的“Borel 函数”或“Baire 函数”密切相关，也就是说函数可以从连续的函数通过取序列的极限的运算得到，“无限地”重复；它们是由贝尔在一部重要著作中定义的，在这部著作中，他完全放弃了对这些问题的定性和“拓扑”方面进行系统研究的测度观点[15]；在此背景下，他定义并研究了半连续函数（并且是第一个这样做的），并在阶中描述了函数，即连续函数的极限，他引入了微薄集合（集合“第一类”）的重要概念 Baire的术语）我们将在章IX学习。至于贝尔之后的许多作品，主要是俄罗斯的乘积，尤其是波兰的学校，我们在这里只能提请注意它们的存在（参见例[16]和Fundamentae Mathematicae杂志）

[1] O. Neugebauer，Vorlesungen über Geschichte der antiken Mathematik，Bd。 I：《Vorgriechische Mathematik》，柏林（施普林格），1934 年。

[2] Euclidis Elementa，5 卷，编辑。 J.L。 Heiberg，Lipsiae（Teubner），1883-88。

[2a] T.L。 Heath，欧几里得十三本书元素...，3 卷，剑桥，1908 年。

[3] 阿基米迪 Opera Omnia，3 卷，编辑。 J.L。海伯格，第二版，1913-15。

[3a] Les Œuvres complètes d’Archimède，由 P. Ver Eecke 翻译，巴黎-布鲁塞尔 (Declée-de Brouwer)，1921 年。

[4] Diophanti Alexandrini Opera Omnia...，2 卷，编辑。 P. Tannery，Lipsiae (Teubner)，1893-95。

[4a] Diophante d’Alexandrie，由 P. Ver Eecke 翻译，布鲁日 (DESclée de Broower)，1926 年。

[5] R. Bombelli，L’代数，编辑。 E. Bortolotti，博洛尼亚（扎尼切利），1929 年。

[6] 西蒙·史蒂文·德·布鲁日的数学著作，《数学记忆中的记忆》，《莫里斯·德·拿骚亲王，奥伦日亲王，省下省省长，梅尔等人的特雷斯-豪特和特雷斯的练习》 par Terre 等，Le tout reveu、corrigé et Augmenté par Albert Girard Samielois、Mathématicien、A Leyde、Chez Bona-venture 和 Abraham Elsevier、Imprimeurs ordinaires de l’Université、Anno MDCXXXIV (= 1634)，卷。 I。

[7] I.巴罗，《数学著作》，剑桥（大学出版社），1860 年。

[8] I.牛顿的《De Analysi per ecquatione numero terminorum infinitas》，载于 Commercium Epistolicum D. Johannis Collins 等人的《Analysi promota》，Londini，1712 年。

[9] C. F.高斯，Werke，卷。 III（哥廷根，1816）和X₁（同上，1917）。

[10] A. Cauchy, Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique, 1ʳᵉ party, 1821 = Œuvres (II) vol. III，巴黎（Gauthier-Villars），1897 年。

[11] B. Bolzano，Rein Analytischer Beweis des Lehrsatzes，dass zwischen je zwei Werthen，die ein entgegengesetztes Resultat gewähren，wenigstens eine reelle Wurzel liegt，Ostwald’s Klassiker，no. 153，莱比锡，1905。

[12] N. H. Abel，Œuvres，2 卷，编辑。西洛和谎言，克里斯蒂安尼亚，1881。

[13] R. Dedekind，《Gesammelte mathematische Werke》，卷。 II，不伦瑞克（Vieweg），1932 年，p. 315。

[14] E. Borel，Leçons sur la théorie des fonctions，第二版，巴黎（Gauthier-Villars），1914 年。

[15] R. Baire，Leçons sur les fonctions attempts，巴黎（Gauthier-Villars），1905 年。

[16] N. Lusin，《Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications》，巴黎（Gauthier-Villars），1930 年。