习题 2, § 1

a) 令 $G$ 为格序交换律群。对于$G$中的每个$x \geq 0$，令$I(x)$表示$G$中的区间$[ -x, x ]$。 $G$中元素$\geq 0$的非空族$(c_\alpha)$使得$I(c_\alpha)$形式是$G$上拓扑$\mathfrak{T}$的o的基本系统与邻域兼容$G$的群结构当且仅当$c_\alpha$的集合有向（相对于关系$\geqslant$）并且对于每个$\alpha$存在$\beta$使得$2c_\beta \leqslant c_\alpha$。如果满足这些条件，则$G$到$G$的映射$x \to x^+$是一致连续的。 $\mathfrak{T}$ 是 Hausdorff 当且仅当 $\inf c_\alpha = 0$；在这种情况下，$\mathfrak{T}$与$G$的有序群结构兼容。

b) 在线性有序的可数无穷个群$\mathbf{Z}$的群$G = \mathbf{Z}^N$、乘积上，不存在由a)的过程定义的非离散拓扑，但是因子上的离散拓扑的乘积 $\mathbf{Z}$ 是 $G$ 上的拓扑，与 $G$ 的有序群结构兼容，这是 Hausdorff 且不是离散的。

c) 在线性有序群 $G$ 上，由 a) 的过程定义的唯一 Hausdorff 拓扑是拓扑 $\mathfrak{T}_0(G)$ (章 I, § 2, 习题 5)。