Exercice 2, § 1

a) Soit G un groupe commutatif réticulé; pour tout $x \geq 0$ dans G, on désigne par $I(x)$ l’intervalle $(-x, x)$ dans G (E, III, p. 14). Pour qu’une famille non vide $(c_\alpha)$ d’éléments $\geq 0$ de G soit telle que les intervalles $I(c_\alpha)$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie $\mathscr{T}$ sur G compatible avec la structure de groupe de G, il faut et il suffit que l’ensemble des $c_\alpha$ soit filtrant décroissant et que, pour tout $\alpha$, il existe $\beta$ tel que $2c_\beta \leq c_\alpha$. Lorsqu’il en est ainsi l’application $x \mapsto x^+$ de G dans lui-même est uniformément continue (cf. A, VI, § 1, exerc. 14). Pour que $\mathscr{T}$ soit séparée, il faut et il suffit que $0 = \inf c_\alpha$; alors $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure de groupe ordonné de G.

b) Sur le groupe complètement réticulé $G = \mathbf{Z}^N$ produit d’une infinité dénombrable de groupes totalement ordonnés $\mathbf{Z}$, il n’y a aucune topologie non discrète définie par le procédé de $a$), mais la topologie produit des topologies discrètes sur les facteurs $\mathbf{Z}$ est compatible avec la structure de groupe ordonné de $G$, séparée et non discrète.

c) Sur un groupe totalement ordonné $G$, la seule topologie séparée définie par le procédé de $a$ est la topologie $\mathscr{T}_0(G)$ (I, p. 91, exerc. 5).