Bài tập 2, § 1

(a) Cho $G$ là một nhóm giao hoán có cấu trúc dàn. Với mỗi $x \geq 0$ trong $G$, ký hiệu $I(x)$ là khoảng $[ -x, x ]$ trong $G$. Một họ không rỗng $(c_\alpha)$ gồm các phần tử $\geq 0$ trong $G$ có tính chất rằng các khoảng $I(c_\alpha)$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của o đối với một tôpô $\mathfrak{T}$ trên $G$ tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ khi và chỉ khi tập hợp các $c_\alpha$ là có hướng (đối với quan hệ $\geqslant$) và với mỗi $\alpha$ tồn tại $\beta$ sao cho $2c_\beta \leqslant c_\alpha$. Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, ánh xạ $x \to x^+$ của $G$ vào $G$ là liên tục đều. $\mathfrak{T}$ là Hausdorff khi và chỉ khi $\inf c_\alpha = 0$; và trong trường hợp này $\mathfrak{T}$ tương thích với cấu trúc nhóm có thứ tự của $G$.

(b) Trên nhóm $G = \mathbf{Z}^N$, tích của một vô hạn đếm được các nhóm có thứ tự tuyến tính $\mathbf{Z}$, không có tôpô không rời rạc nào được xác định bởi quy trình của a), nhưng tích của các tôpô rời rạc trên các thừa số $\mathbf{Z}$ là một tôpô trên $G$, tương thích với cấu trúc nhóm có thứ tự của $G$, là Hausdorff và không rời rạc.

(c) Trên một nhóm có thứ tự tuyến tính $G$, tôpô Hausdorff duy nhất được xác định bởi quy trình của a) là tôpô $\mathfrak{T}_0(G)$ (Chương I, § 2, Bài tập 5).