习题 15, § 4

设 G 为局部紧致群，并令 $G_0$ 为 G 中的恒等分量；假设商群 $G/G_0$ 是紧致的。

a) 证明 G 是 $\sigma$-紧致（注 $G_0$ 是 $\sigma$-紧致且应用命题 10）。

b) 设$(U_n)$为G中e的邻域的递减序列。证明G存在紧致法线子群K，包含在$U_n$的交中，并且$G/K$的单位元素有可数基数系统邻域。 [G 中存在 e 的紧对称邻域 $V_0$，使得 $G = V_0G_0$。 e 的紧凑对称邻域 $V_n$ 的定义递归序列，使得对于每个 $x \in V_0$ (习题 14 b) 都有 $V_n^2 \subset V_{n-1} \cap U_n$ 和 $xV_nx^{-1} \subset V_{n-1}$；表明 $V_n$ 的交 K 回答了问题]。

c) 令 X 为局部紧致空间，其具有可数基；假设 G 在 X 上连续运行，使得 G 中不存在 $s \neq e$，其中 $s.x = x$ 对于所有 $x \in X$。证明 G 的单位元素具有可数基数系统邻域。 [令$(W_n)$为X的拓扑、相对紧集的由……组成可数基；对于整数$(m, n)$中的每个对，使得$W_m \subset W_n$，令$U_{mn}$是所有$s \in G$中的集合，使得$s.W_m \subset W_n$；表明 $U_{mn}$ 在 G 中开，并应用 b) 的结果。]