Bài tập 15, § 4

Cho G là một nhóm địa phương compact và $G_0$ là thành phần đơn vị trong G; giả sử rằng nhóm thương $G/G_0$ là compact.

a) Chứng minh rằng G là $\sigma$-compact (nhận xét rằng $G_0$ là $\sigma$-compact và sử dụng Mệnh đề 10).

b) Cho $(U_n)$ là một dãy giảm các lân cận của e trong G. Chứng minh rằng tồn tại một nhóm con chuẩn compact K của G, được chứa trong giao của các $U_n$, và sao cho phần tử đơn vị của $G/K$ có một hệ cơ sở đếm được các lân cận. [Tồn tại một lân cận compact đối xứng $V_0$ của e trong G sao cho $G = V_0G_0$. Định nghĩa đệ quy một dãy các lân cận compact đối xứng $V_n$ của e sao cho $V_n^2 \subset V_{n-1} \cap U_n$ và $xV_nx^{-1} \subset V_{n-1}$ với mỗi $x \in V_0$ (Bài tập 14 b); chứng minh rằng giao K của các $V_n$ trả lời câu hỏi].

c) Cho X là một không gian địa phương compact có một cơ sở đếm được; giả sử G tác động liên tục trên X theo cách sao cho không có $s \neq e$ nào trong G mà $s.x = x$ với mọi $x \in X$. Chứng minh rằng phần tử đơn vị của G có một hệ cơ sở đếm được các lân cận. [Cho $(W_n)$ là một cơ sở đếm được của tôpô của X, gồm các tập hợp tương đối compact; với mỗi cặp số nguyên $(m, n)$ sao cho $W_m \subset W_n$, cho $U_{mn}$ là tập hợp tất cả các $s \in G$ sao cho $s.W_m \subset W_n$; chứng minh rằng các $U_{mn}$ là mở trong G và áp dụng kết quả của b).]