Exercice 15, § 4

Soient G un groupe localement compact, G_0 la composante connexe de e dans G. On suppose que le groupe quotient G/G_0 est compact.

a) Montrer que G est dénombrable à l’infini (remarquer qu’il en est ainsi de G_0 et utiliser la prop. 10 de III, p. 33).

b) Soit (U_n) une suite décroissante de voisinages de e dans G. Montrer qu’il existe dans G un sous-groupe compact distingué K contenu dans l’intersection des U_n, et tel que l’élément neutre de G/K admette un système fondamental dénombrable de voisinages. (Il existe un voisinage compact symétrique V_0 de e dans G tel que G = V_0G_0. Définir par récurrence une suite de voisinages compacts symétriques V_n de e tels que V_n^2 ⊂ V_{n-1} ∩ U_n et xV_nx^{-1} ⊂ V_{n-1} pour tout x ∈ V_0 (exerc. 14 b)); montrer que l’intersection K des V_n répond à la question).

c) Soit E un espace localement compact admettant une base dénombrable, dans lequel G opère continûment et de sorte qu’il n’existe aucun s ≠ e dans G tel que s.x = x pour tout x ∈ E. Montrer que l’élément neutre de G admet un système fondamental dénombrable de voisinages. (Soit (W_n) une base de la topologie de E formée d’ensembles relativement compacts; pour tout couple d’entiers (m, n) tel que $\overline{W}_m \subset W_n$, soit U_{mn} l’ensemble des s ∈ G tels que s.$\overline{W}_m$ ⊂ W_n; montrer que les U_{mn} sont ouverts dans G et appliquer le résultat de b).)