习题 7, § 1

设 E 为 $\mathbf{R}$ 上的完全可范空间，F 为 E 的闭向量子空间，使得不存在 E 到 $F \times (E/F)$ 上的双连续线性双射。‡ 令 X 为解析流形 $\mathbf{R} \times E \times F$。设 G 为

† 有关更多详细信息，请参阅 R. S. Palais，关于非紧李群作用的切片的存在性，Ann。数学，72 (1961)，第 295–323 页。 ‡ 对于有序对 (E, F) 中的例，cf. 对于例 A. Douady，Leproblème des 模 pour les sous-espaces analytiques compes d’un espace analytique donné，Ann。研究所。傅里叶，16（1966），p. 16。

F 的加法群，在 X 运行映射

$G \times X$ 变为 X。对于所有$x \in X$，令$R_x$为x的G轨道，它是X的准子流形。则满足命题 10 的条件 (a)，但不存在具有以下属性的有序对 $(Y, \pi)$：Y 是解析流形，$\pi$ 是 X 的态射进入 Y，并且对于所有 $x \in X$， 与核 $T_x(R_x)$ 是满射。

（假设$(Y, \pi)$存在。令H为Y在$\pi(0, 0, 0)$处的切线空间。则H与$\mathbf{R} \times F \times (E/F)$同构的。另一方面，对于x足够接近$(0, 0, 0)$，H与$T_{\pi(x)}Y$同构的，因此与$\mathbf{R} \times E$同构的。）