Exercice 7, § 1

Soient E un espace normable complet sur $\mathbf{R}$, F un sous-espace vectoriel fermé de E tel qu’il n’existe pas de bijection linéaire bicontinue de E sur $F \times (E/F)$.² Soit X la variété analytique $\mathbf{R} \times E \times F$. Soit G le groupe additif de F, qu’on fait opérer dans X par l’application $(g, (\lambda, e, f)) \mapsto (\lambda, e + g, f + \lambda g)$ de $G \times X$ dans X. Pour tout $x \in X$, soit $R_x$ la G-orbite de $x$, qui est une quasi-sous-variété de X. Alors, la condition a) de la prop. 10 est vérifiée, mais il n’existe aucun couple $(Y, \pi)$ ayant les propriétés suivantes: Y est une variété analytique, $\pi$ est un morphisme de X dans Y, et, pour tout $x \in X$, $T_x(\pi): T_x(X) \to T_{\pi(x)}(Y)$ est surjectif de noyau $T_x(R_x)$. (Supposons que $(Y, \pi)$ existe. Soit H l’espace tangent à Y en $\pi(0, 0, 0)$. Alors H est isomorphe à $\mathbf{R} \times F \times (E/F)$. D’autre part, H est isomorphe à $T_{\pi(x)}Y$ pour $x$ assez voisin de $(0, 0, 0)$, donc isomorphe à $\mathbf{R} \times E$.)