Bài tập 7, § 1

Cho E là một không gian chuẩn hóa đầy đủ trên $\mathbf{R}$ và F là một không gian con vectơ đóng của E sao cho không tồn tại song ánh tuyến tính bicontinuous nào của E lên $F \times (E/F)$.‡ Gọi X là đa tạp giải tích $\mathbf{R} \times E \times F$. Gọi G là

† Để biết thêm chi tiết, xem R. S. Palais, On the existence of slices for actions of non-compact Lie groups, Ann. of Math., 72 (1961), tr. 295–323. ‡ Để có một ví dụ về một cặp có thứ tự (E, F) như vậy, xem chẳng hạn A. Douady, Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d’un espace analytique donné, Ann. Inst. Fourier, 16 (1966), tr. 16.

nhóm cộng của F, tác động lên X bởi ánh xạ

của $G \times X$ vào X. Với mọi $x \in X$, gọi $R_x$ là quỹ đạo G của x, đây là một nửa đa tạp con gần của X. Khi đó điều kiện (a) của Mệnh đề 10 được thỏa mãn, nhưng không tồn tại cặp có thứ tự $(Y, \pi)$ nào có các tính chất sau: Y là một đa tạp giải tích, $\pi$ là một cấu xạ từ X vào Y và, với mọi $x \in X$, là toàn ánh với hạt nhân $T_x(R_x)$.

(Giả sử rằng $(Y, \pi)$ tồn tại. Gọi H là không gian tiếp xúc với Y tại $\pi(0, 0, 0)$. Khi đó H đẳng cấu với $\mathbf{R} \times F \times (E/F)$. Mặt khác H đẳng cấu với $T_{\pi(x)}Y$ với x đủ gần $(0, 0, 0)$ và do đó đẳng cấu với $\mathbf{R} \times E$.)