令 L(G) 被赋予范数与其拓扑兼容，并且使得$\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ 对于L(G) 中的所有 x, y。令 G_1 为由 L(G) 定义的李群。通过§ 4, no. 2、定理2，G 和G_1 局部同构。然后应用§ 4, no. 2、引理 3 (iii) 即可。

第一个断言已在§ 4, no. 2、引理3中得到证明。第二个是§ 4, no. 2、定理2的特例。

第一个断言源自命题1和§ 4, no. 2，定理3。第二个§ 4, no. 2，定理3的特殊情况。

(i) 存在 G 的开子群 G' 和 G' 的李群态射 $\phi$ 进入 H，使得 $h = L(\phi)$。

(ii) 令 G_1、G_2 将 G 的子群和 G_i 的$\phi_i$ 态射开入 H，使得 $h = L(\phi_i)$。然后$\phi_1$和$\phi_2$重合在G的开子群上。

到命题 1，这是从 § 4, no. 1、定理 1 得出的。

(i) 存在 G 的开子群 G' 和 G' 的正规李子群 H，使得 L(H) = h。

(ii) h 是 L(H) 的理想值。

如果存在具有 (i) 性质的 G' 和 H，则 L(G') = L(G) 且 L(H) 是 L(G') × § 3, no. 12、命题 47 的理想。

假设 h 是 L(G) 的理想。存在李群 F 使得 L(F) = L(G)/h (定理 1)。令h为L(G)到L(F)的规范态射。到定理 3 (i)，存在 G 的开子群 G' 和 G' 的李群态射 $\phi$ 进入 F，使得 $L(\phi) = h$。通过§ 3, no. 8，$\phi$的核 H是G'和$L(H) = \mathrm{Ker}\ L(\phi) = \mathrm{Ker}\ h = h$的谎言子群。最后，从 $H = \mathrm{Ker}\ \phi$ 开始，H 在 G' 中是正规的。

让 $L(G)$ 被赋予与其拓扑兼容的范数，并且使得 $\| [x, y] \| \leq \| x \| \| y \|$ 适合 $L(G)$ 中的 $x, y$。设 $G_1$ 为由 $L(G)$ 定义的李群。让$\psi = \mathrm{Id}_{G_1}$，它是$G_1$的指数映射。对于所有$\mu > 0$，令$L_\mu$为$x \in L(G)$的集合，使得$\| x \| < \mu$。那么，对于足够小的$\mu$，$L_\mu$是加法群$L(G)$的开子群，$\psi(L_\mu)$是$G_1$的开子群（§ 4, no. 2，引理3），对于所有$x \in L_\mu$和所有$n \in \mathbf{Z}$，$\psi|L_\mu$是$L_\mu$解析流形到$\psi(L_\mu)$和$\psi(nx) = \psi(x)^n$的同构。 $L_\mu$ 形式邻域的基本系统为 $L(G)$ 中的 0。到定理 1，存在$\mu$和G的开子群$G'$，使得$\psi(L_\mu)$和$G'$同构，从而命题。

(1)

(2)

这些是命题 4 of § 4, no. 3 的特殊情况。

通过替换 G 通过群同构于 G 的开子群，问题被简化为 G 是 K' 的开子集，其中单位元素 0 并且乘积 x.y 的坐标和逆坐标x^{[-1]} 由公式给出

(3)

(4)

其中右侧的级数对于 G 中的 x、y 是收敛的 (§ 5, no. 1)。令 λ ∈ K* 并令群运算通过比率 λ 的位似从 G 传输到 G' = λG。对于 G' 中的 x', y'，乘积 x'.y' 和 G' 中计算的逆 x'^{[-1]} 具有坐标

哪里

由于级数 (3) 和 (4) 收敛，我们看到，对于 |λ| 足够大，对于所有 α、β、i，

即 c'_{\alpha \beta i} ∈ A 和 d'_{\alpha i} ∈ A;另一方面 G' ⊃ m × m × ... × m。那么 m × m × ... × m 是 G' 的开子群，并且是标准群。

(i) 如果$a$是包含在$m$中的$A$的非零理想，则$G(a)$是$G$的开法线子群。

(ii) $G(a_\lambda)$，对于$\lambda > 0$，形式是$G$中$e$的邻域的基本系统。

(iii) 假设 $\lambda \geq \lambda_0$ 为 $a_\lambda \subset a$，并让 $\lambda \geq \lambda_0$ 的 $G(a)/G(a_\lambda)$ 被赋予离散的拓扑。那么拓扑群$G(a)$就是群$G(a)/G(a_\lambda)$的逆极限。

(iv) 设$a, b$为$m$中包含的$A$的非零理想，使得$a \supset b \supset a^2$。将$G(a)$的映射$x \mapsto (x_1 \bmod b, \ldots, x_r \bmod b)$代入经过上的$(a/b) \times \cdots \times (a/b)$定义，再将群$G(a)/G(b)$的同构商到加法群$(a/b) \times \cdots \times (a/b)$。

如果$x \in G$和$y \in G(a)$，$x$和$x.y$的坐标等于模$a$。因此，对于$G$中的$x', x''$和$G(a)$中的$y', y''$，$x'.x''$和$(x'.y').(x''.y'')$的坐标等于模$a$。这就证明了(i)。

(ii) 是显而易见的。

(iii) 由上述和一般拓扑、章 III, § 7、命题 2 得出。

如果$x \in G(a)$和$y \in G(a)$，$x.y$的坐标与$x + y$模$G(a^2)$除以§ 5的公式（4）的坐标一致。这就证明了(iv)。

(i) 如果$a = m^a$和$b = m^b$与$b \geq a \geq 1$，则$G(a)/G(b)$是基数$q^{r(b-a)}$的$p$群。

(ii) $G(a)$是$p$组中的逆极限。

$G(a)/G(b)$中元素的数为$(\mathrm{Card}(a/b))^r$；如果 $b = a + 1$、$a/b$ 是 $A/m$、从而上的一维向量空间 (i) 在这种情况下；一般情况下是$b - a$上的归纳。 断言 (ii) 由 (i) 和命题 5 (iii) 得出。

如果$x \in G(a)$和$y \in G(b)$，则$x^{[-1]}y^{[-1]}x.y, x.y.x^{[-1]}y^{[-1]}$和$[x,y]$属于到$G(c')$并且模$G(c')$全等。

由§ 5, no. 2，命题 1，存在$c_{\alpha\beta} \in A'$使得

如果$x = 0$或$y = 0$，则$x^{[-1]}y^{[-1]}x.y - [x,y] = 0$；因此$c_{0\beta} = c_{\alpha 0} = 0$。 另一方面，条件 暗示 因此$x^{[-1]}y^{[-1]}x.y - [x,y] \in G(c')$。我们同样看到 最后，通过§ 5，公式（13），$[x,y] \in G(ab) \subset G(c)$。

通过章II, § 4, no. 4，我们可以将形式群$\mathrm{gr}(G)$与群$G$相关联，并进行中央过滤$(G(a_\lambda))$。 对所有$\lambda > 0$写出$G_\lambda = G(a_\lambda)/G(a_\lambda^+)$，我们得到$\mathrm{gr}(G) = \bigoplus_{\lambda > 0} G_\lambda$。 回想一下（*loc.cit.*，命题 1），$G$中的换位子允许我们在$\mathrm{gr}(G)$中使用定义括号，其中$\mathrm{gr}(G)$是李代数，如下所示：如果$\bar{x} \in G_\lambda$和$\bar{y} \in G_\mu$，则选择 $G(a_\lambda)$中$\bar{x}$的代表$x$和$G(a_\mu)$中$\bar{y}$的代表$y$；那么$[\bar{x}, \bar{y}]$是$G_{\lambda+\mu}$中$x^{[-1]}y^{[-1]}x.y \in G(a_{\lambda+\mu})$的类。 到命题 6，与$a = a_\lambda, b = a_\mu, c = a_{\lambda+\mu}, c' = a_{\lambda+\mu}^+$一起应用，我们看到$[\bar{x}, \bar{y}]$也是$G_{\lambda+\mu}$中$[x, y]$的类。 因此，当 $G$ 被视为 $L(G) = K^r$ 的谎言子代数时，经 $G(a_\lambda)$ 过滤，相关分级李代数 (章 II, § 4, no. 3) 等于 $\mathrm{gr}(G)$。

根据标准群的定义，$h_n$等于系数为$A'$的积分级数的整个$G$至和。由 § 5、公式 (4) 得出，此级数为形式

因此，对于$x \in G$， 我们写$S(x) = x + \sum_{|\alpha| \geq 2} a_\alpha n^{|\alpha|-2} x^\alpha$。这个级数$S(x)$定义是$G$到$G$的解析映射，也用$S$表示。由*代数*，章IV, § 6，命题8，$r$变量中存在一个积分级数$S'$，其系数在$A'$中，使得$S'(S(X)) = S(S'(X)) = X$。因此，$S$是流形$G$自身解析的同构，并且对于$A$的每个非零理想$b$包含在$m$、$S(G(b)) \subset G(b)$、$S'(G(b)) \subset G(b)$中，因此 对于$y \in nG$的$h_n(y) = n^2 S \left( \frac{1}{n} y \right)$，我们看到$h_n|nG(b)$是解析式流形$nG(b)$到解析式流形$n^2 G(b)$的同构。但是，由于$n \notin a$、$|n| > |\lambda|$对于所有$\lambda \in a$来说，因此$n^{-1} a \subset m$和$a$是形式$nb$，其中$b$是包含在$m$中的$A$的非零理想。

这紧随命题 8。

存在$G$的开子群，它与标准群（no. 3，定理4）同构的。 断言 (i) 然后从引理 1 得出。

设$U$是$L(G)$的开子群，$\phi : U \to \phi(U)$是$G$的指数映射，具有no. 2的命题3的性质。可以假设$U$对于$\phi(U) \subset G_f$来说足够小。让$x \in G_f$。存在$m \in \mathbf{Z} - \{0\}$使得$x^m \in \phi(U)$。 元素 $\frac{1}{m} \phi^{-1}(x^m)$ 不依赖于 $m$ 的选择。让 $m' \in \mathbf{Z}$ 等于 $x^{m'} \in \phi(U)$。然后 $x^{m m'} \in \phi(U)$ 和

从而我们的断言。让$\psi(x) = \frac{1}{m} \phi^{-1}(x^m)$。然后$\psi|\phi(U) = \phi^{-1}$。另一方面，如果$n \in \mathbf{Z}$，那么

因此$\psi$具有命题的性质(a)和(b)。 $x$中的邻域中，$\psi$由映射$x \mapsto x^m$、$y \mapsto \phi^{-1}(y)$和$z \mapsto \frac{1}{m} z$组成；因此 $\psi$ 是对 $G_f$ 的解析。

最后，令$\psi'$为$G_f$的映射进入$L(G)$和$V'$$G_f$中$e$的邻域，使得$\psi'(x^n) = n \psi'(x)$代表$x \in G_f$和$n \in \mathbf{Z}$，并且$\psi'|V'$是单射指数映射的逆映射。然后是$e$的邻域$W$上的$\psi$和$\psi'$重合。如果$x \in G_f$，则存在$n \in \mathbf{Z}$使得$x^n \in W$。然后

因此$\psi = \psi'$。

事实上，$xy \in G_f$源自引理 1。设$U$是加法群$L(G)$的开子群，$\phi : U \to \phi(U)$是$G$的指数映射，具有命题 3的性质no. 2；可以假设$U$足够小，使$\log|\psi(U)|$成为$\phi$的倒数映射。对于$n \in \mathbf{Z} - \{0\}$，适当选择$x^n \in \phi(U)$、$y^n \in \phi(U)$。让$u = \log x^n$，$v = \log y^n$，从而$x^n = \phi(u)$，$y^n = \phi(v)$。 公式 (2)，$[u, v] = 0$。 Hausdorff 公式则证明 $\phi(\lambda(u + v)) = \phi(\lambda u) \phi(\lambda v)$ 对于 $|\lambda|$ 足够小；因此，对于每个足够大整数 $i$，

那就是 或

如果存在整数$n > 0$使得$x^n = e$，则有

从而$\log x = 0$。如果$\log x = 0$，则令$V$为$G_f$中$e$的邻域，使得$\log|V|$是单射指数映射的倒数映射。存在整数$n > 0$使得$x^n \in V$； 等式 $\log x^n = 0$ 意味着 $x^n = e$。

如果G是标准的，则使用引理1就足够了。假设G是紧的。令$x \in G$和V为G中e的邻域。令y为序列$(x^n)_{n \geq 0}$的极限点。对于所有$n > 0$，存在两个整数$n_1, n_2$，例如$n_1 \geq 2n_2 \geq n$和$x^{n_1} \in yV, x^{n_2} \in yV$，从而$x^{n_1 - n_2} \in V^{-1}V$和$n_1 - n_2 \geq n$。因此$x \in G_f$。

让$x \in G$。如果 x 属于为 G 的紧子群，则$x \in G_f$ (命题 13)。假设$x \in G_f$。由于 K 是局部紧致的，因此存在紧致 G 的开子群 $G_1$。那么存在整数$m > 0$使得$x^m \in G_1$。由$x^m$生成的闭子群$G_2$包含在$G_1$中，因此是紧致的。然后x与$G_2$的元素交换，因此$G_2 \cup xG_2 \cup \cdots \cup x^{m-1}G_2$是G的紧子群，其中包含x。

(i) 绝对收敛域（可微分和解析流形，R，4.1.3）*E 包含集合 $\Delta$ 的 $x \in G$ 使得 $\omega(x) > \frac{1}{p-1}$。让$E'$表示由这个级数在$\Delta$上定义的映射。那么$E'$是G的指数映射，并且是流形$\Delta$自身的同构。*

(ii) L包含G的绝对收敛域。令$L'$表示由级数定义的G上的映射。那么$L'$是G的对数映射，$L'$到$\Delta$的限制是$E'$的倒数映射。

(iii) 映射 $E'$ 是 $\Delta$ 的同构，通过 Hausdorff 律，到 G 的子群 $\Delta$。

使用记号或 § 5，编号。 3 和 4、$E = \sum_{m \geq 1} \frac{\psi_{m,m}}{m!}$（$§ 5$、no. 4、命题 3）。作为 A 的系数 $c_{\alpha \beta \gamma}$ 属于，$\| \psi_{m,m} \| \leq 1$（可微分和解析流形，R，附录）$K^r$ 假定具有范数

章 II, § 8, no. 1、引理 1、$v(m!) \leq \frac{m-1}{p-1}$。如果$\omega(x) > \frac{1}{p-1}$，我们看到$m \omega(x) - v(m!)$趋于$+\infty$，$m$，从而

当 $m$ 趋于 $+\infty$ 时，它趋于 0，并且 因此$\Delta$包含在$E$和$E'(\Delta) \subset \Delta$的绝对收敛域内。显然 $E'$ 是指数映射。

若$L_m$表示次数$m$的$L$的齐次分量，§ 5, no. 4的命题3，证明$L_m$的各系数为形式

$a_1, a_2, \ldots, a_m$ 位于 $A$；但是 和 因此，如果$\omega(x) > 0$，$\|L_m\| \cdot \|x\|^m$趋于0，就像$m$趋于$+\infty$一样，从而$G$包含在$L$的绝对收敛域内。另一方面，如果$\omega(x) > \frac{m}{p-1}$，则$\omega(L_m(x)) > \frac{m}{p-1} - \frac{m-1}{p-1} = \frac{1}{p-1}$对应$m \geq 1$，因此$L'(\Delta) \subset \Delta$。

由于*可微解析流形*的形式幂级数 $L(E(X))$和$E(L(X))$等于$X$、no. 4.1.5，R证明：

$x \in \Delta$。因此，$E'$是流形$\Delta$自身的同构，逆同构是$L'$到$\Delta$的限制。

$L(X^{[n]}) = nL(X)$ $n$ 整数 $> 0$ (cf. § 5, no. 4)。由于$G$包含在$L$和$X^{[n]}$的绝对收敛域中，因此$L'(x^n) = nL'(x)$对于所有$x \in G$。 关系 $L'|_{\Delta} = {E'}^{-1}$ 意味着 $L'(x^n) = \log x^n$ 对应 $n$ 足够大。因此$L'(x) = \log x$。这样我们就证明了(i)和(ii)。

令$H = \sum_{r,s \geq 0} H_{r,s}$为豪斯多夫形式幂级数，$h$为相对于$L(G)$的豪斯多夫函数。 $\tilde{H}$ 包含于 $\Delta \times \Delta$ 和 $h$ 的绝对收敛域定义在 $\Delta \times \Delta$ (章 II, § 8, 命题 2) 上。然后

对于 $x, y$ 足够接近 0 ($§ 4$, 定理 4 (v))。因此，在no. 3、定义 1 的记号中，形式上的幂、级数、$F(E(X), E(Y))$和$E(H(X, Y))$是相等的。令 $x, y$ 为 $\Delta$ 中的元素。然后 由章 II, § 8、公式 (14)。通过*可微分和解析流形*，R，4.1.5，$E'(x)E'(y)$是通过用$x$代替$X$和$y$代替$Y$获得 $E'(h(x, y))$是通过将$E(H(X, Y))$中的$X$替换为$x$、将$Y$替换为$y$而得到。因此$E'(x)E'(y) = E'(h(x, y))$。