§ 4. 。中央过滤 · 李群与李代数

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§ 4。中央过滤

1. 真正的过滤

定义 1 0A4H

设 $G$ 为群。对 $G$ 的真正过滤是 $G$ 的子群的 $(G_\alpha)_{\alpha \in \mathbf{R}}$ 族，使得

G_\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} G_\beta \quad \text{for all } \alpha \in \mathbf{R}.

公式 (1) 意味着 $\beta < \alpha$ 为 $G_\alpha \subset G_\beta$ ，因此族 $(G_\alpha)$ 是递减。如果 $\bigcap_\alpha G_\alpha$ 约化到单位元素，则过滤 $(G_\alpha)$ 称为*分离*，如果 $G = \bigcup_\alpha G_\alpha$ ，则称为*详尽*。

注 0A4I

设 $(G_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ 为 $G$ 的子群中的递减序列。它是*交换代数*、章III, § 2, no. 1、定义1意义上的递减过滤。对于 $\mathbf{R}$ 的区间 $]n-1, n]$ 中的每个整数 $n$ 和所有 $\alpha$ ，我们写 $H_\alpha = G_n$ ，特别是 $H_n = G_n$ 。 It is immediate that we thus obtain a real filtration $(H_\alpha)_{\alpha \in \mathbf{R}}$ on $G$ ; such a filtration will be called an integral filtration. 因此，*交换代数*、章III, § 2意义上的递减过滤可以通过积分过滤来识别。

设 $A$ 为代数；如果 $A_\alpha . A_\beta \subset A_{\alpha + \beta}$ 适用于 $\mathbf{R}$ 中的 $\alpha, \beta$ ， $K . A_\alpha \subset A_\alpha$ 适用于 $\alpha \in \mathbf{R}$ ，则 $A$ 的加法群上的真实过滤 $(A_\alpha)$ 称为与代数结构兼容。如果过滤是彻底的，则 $(A_\alpha)$ 是 $A$ 上拓扑下0的邻域的基本系统，与代数结构兼容。设 $B$ 为单位代数；如果代数结构和 $1 \in B_0$ 相容的，则 $B$ 加法群上的真实过滤 $(B_\alpha)$ 称为与单位代数结构兼容。

2. Order function

设 $G$ 为群，其中单位元素 $e$ 。令 $(G_\alpha)$ 为 $G$ 的真实过滤。对于 $G$ 中的所有 $x$ ，令 $I_x$ 表示实数 $\alpha$ 中的集合，使得 $x \in G_\alpha$ 。如果 $\alpha \in I_x$ 和 $\beta < \alpha$ ，则 $\beta \in I_x$ ，因此 $I_x$ 是一个区间（*一般拓扑*，章IV, § 2, no. 4，命题1）。使用关系 (1)，我们看到当它是有限的时， $I_x$ 包含是最小的上界。因此 $I_x$ 等于形式 $]-\infty, v(x)] \cap \mathbf{R}$ 和 $v(x) \in \overline{\mathbf{R}}$ ；我们有 $v(x) = \sup \{ \alpha \mid x \in G_\alpha \}$ 。

$G$ 的映射 $v$ 进入 $\overline{\mathbf{R}}$ 称为与实际过滤 $(G_\alpha)$ 相关的*阶函数*， $v(x)$ 称为 $x$ 的*阶*。这个映射有以下性质：

(a) 对于 $x \in G$ 和 $\alpha \in \mathbf{R}$ ，关系 $x \in G_\alpha$ 和 $v(x) \geq \alpha$ 是等价的。

(b) 对于 $G$ 中的 $x, y$ ，

v(x^{-1}) = v(x), \qquad v(e) = +\infty.

v(xy) \geq \inf(v(x), v(y)).

此外，如果 $v(x) > v(y)$ ，则 (3) 中我们有等式。

(c) 对于所有 $\alpha \in \mathbf{R}$ ，令 $G_\alpha^+$ 表示 $x \in G$ 的集合，使得 $v(x) > \alpha$ 。那么 $G_\alpha^+ = \bigcup_{\beta > \alpha} G_\beta$ ，特别是 $G_\alpha^+$ 是子群的 $G$ 。

相反，令 $v$ 为 $G$ 的映射代入 $\overline{\mathbf{R}}$ 满足关系(2)和(3)。对于所有 $\alpha \in \mathbf{R}$ ，令 $G_\alpha$ 为 $x \in G$ 的集合，使得 $v(x) \geq \alpha$ 。那么 $(G_\alpha)_{\alpha \in \mathbf{R}}$ 是 $G$ 的真实过滤， $v$ 是与该过滤相关的阶函数。

为了使过滤 $(G_\alpha)$ 成为整体，将 $v$ 映射 $G$ 转化为 $\mathbf{Z} \cup \{+\infty, -\infty\}$ 是必要且充分的。为了使其详尽（或分离）， $-v^{-1}(-\infty) = \varnothing$ （或 $-v^{-1}(+\infty) = \{\epsilon\}$ ）是必要且充分的。

令 $A$ 为K-代数（分别为单位K-代数）。综上所述，关系

"x \in A_\alpha \Leftrightarrow v(x) \geq \alpha \quad \text{for } x \in A \text{ and } \alpha \in \mathbf{R}"

定义双射 / 集合详尽的真实过滤 $(A_\alpha)_{\alpha \in \mathbf{R}}$ 与代数（分别为单元代数）结构于 $A$ 到集合于映射 $v : A \to \overline{\mathbf{R}}$ 不采用值 $-\infty$ 和满足公理 (4) 至 (7)（分别为 (4) 至 (8)）：

(4)

v(x + y) \geq \inf(v(x), v(y)) \quad (x, y \text{ in } A)

(5)

v(-x) = v(x) \qquad (x \in A)

(6)

v(\lambda x) \geq v(x) \qquad (\lambda \in K, x \in A)

(7)

v(xy) \geq v(x) + v(y) \qquad (x, y \text{ in } A)

(8)

v(1) \geq 0.

注 0A4J

如果 $v(x)$ 并非处处都等于 $+\infty$ ，则条件 (7) 和 (8) 意味着 $v(1) = 0$ 。

3. 分级代数与过滤代数相关

令 $G$ 成为具有真实过滤 $(G_\alpha)_{\alpha \in \mathbf{R}}$ 的*可交换* 群。正如之前我们写的

G_\alpha^+ = \bigcup_{\beta > \alpha} G_\beta;

显然 $G_\alpha^+$ 是 $G_\alpha$ 中的子群。我们写 $\operatorname{gr}_\alpha(G) = G_\alpha / G_\alpha^+$ 并且

\operatorname{gr}(G) = \bigoplus_{\alpha \in \mathbf{R}} \operatorname{gr}_\alpha(G).

与过滤后的群* $G$ 伴随的 *分级群为群 $\operatorname{gr}(G)$ ，其自然分级为型 $\mathbf{R}$ 。

注 0A4K

当过滤 $(G_\alpha)$ 为积分时， $\operatorname{gr}_\alpha(G) = \{0\}$ 为非积分 $\alpha$ ， $\operatorname{gr}_n(G) = G_n / G_{n-1}$ 为每个整数 $n$ 。相关分级的群的定义因此重合本质上与 交换代数、章 III, § 2, no. 3 相同。

令 $A$ 为代数（分别为单位代数），并且 $(A_\alpha)_{\alpha \in \mathbf{R}}$ 为与代数（分别为单位代数）结构（no. 1）兼容的真实过滤。然后

A_\alpha \cdot A_\beta \subset A_{\alpha + \beta}, \qquad A_\alpha^+ \cdot A_\beta + A_\alpha \cdot A_\beta^+ \subset A_{\alpha + \beta}^+

将 $A_\alpha \times A_\beta$ 的双线性映射转换为乘法的 $A_{\alpha + \beta}$ 限制在 $A$ 定义上对双线性映射取商

\operatorname{gr}_\alpha(A) \times \operatorname{gr}_\beta(A) \to \operatorname{gr}_{\alpha + \beta}(A).

我们将 gr(A) × gr(A) 的双线性映射推导到 gr(A) 中，这使其成为型 $\mathbf{R}$ 的分级代数（分别为单位分级代数）。如果 A 是结合律（分别是交换律、谎言）代数，那么 gr(A) 也是。

4. 群中央过滤

定义 2 0A4L

令 G 为群。如果 $G_\alpha$ 的元素 x 的 $G = \bigcup_{\alpha > 0} G_\alpha$ 和换位子 $(x, y) = x^{-1}y^{-1}xy$ 以及 $G_\beta$ 属于到 $G_{\alpha + \beta}$ 的元素 y，G 上的实过滤 $(G_\alpha)$ 称为中心过滤。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 A I § 6. 。扩张，可溶解群，惰性群, TG III § 1. 群上的拓扑

被以下引用命题 7, III § 7

在阶函数v的项中，上面的定义翻译成关系

v(x) > 0, \quad v((x, y)) \geq v(x) + v(y) \quad \text{for all } x, y \text{ in } G.

我们推导出

v((x, y)) > v(x)

v(x) \neq +\infty

;如果我们写

x^y = y^{-1}xy

(cf. 代数, 章 I, § 6, no. 2)，那么

x^y = x.(x, y)

, 从而

v(x^y) = v(x).

这个关系表达了G的子群

G_\alpha

中的每一个都是正规的。 e 的拓扑的

G_\alpha

形式邻域的基本系统与 G 上的群结构兼容（一般拓扑、章 III, § 1, no. 2、例）据说是由过滤

(G_\alpha)

定义。

在本编号的其余部分中，G 表示群，带有中央过滤 $(G_\alpha)$ 。对于所有 $\alpha \in \mathbf{R}$ ，我们 G 的定义子群 $G_\alpha^+$

G_\alpha^+ = \bigcup_{\beta > \alpha} G_\beta.

特别是

G_\alpha^+ = G_\alpha = G

对应

\alpha \leq 0

。回想一下，如果 A 和 B 是 G 的两个子群，则 (A, B) 表示由换位子

(a, b)

与

a \in A

和

b \in B

生成的 G 的子群。有了这个记号我们就有了公式

(G_\alpha, G_\beta) \subset G_{\alpha + \beta}

(G_\alpha^+, G_\beta^+) \subset G_{\alpha + \beta}^+

(G, G_\alpha) \subset G_\alpha^+.

根据 (14)，对于所有

\alpha \in \mathbf{R}

，

G_\alpha^+

是

G_\alpha

的正常子群，并且商群

\mathrm{gr}_\alpha(G) = G_\alpha / G_\alpha^+

是可交换的。我们写

\mathrm{gr}(G) = \bigoplus_{\alpha \in \mathbf{R}} \mathrm{gr}_\alpha(G)

并给这个群型

\mathbf{R}

的毕业，其中

\mathrm{gr}_\alpha(G)

由次数

\alpha

的元素组成。然后

\mathrm{gr}_\alpha(G) = \{0\}

换

\alpha \leq 0

。

命题 1 0A4M

(i) 设 $\alpha, \beta$ 在 $\mathbf{R}$ 中。存在双加法映射

\phi_{\alpha \beta} : \mathrm{gr}_\alpha(G) \times \mathrm{gr}_\beta(G) \to \mathrm{gr}_{\alpha + \beta}(G)

引用了 1

引用了 A I § 6. 。扩张，可溶解群，惰性群

其中映射 $(xG_\alpha^+, yG_\beta^+)$ 到 $(x, y)G_{\alpha+\beta}^+$ 。

(ii) 设 $\phi$ 为 $\mathrm{gr}(G) \times \mathrm{gr}(G)$ 到 $\mathrm{gr}(G)$ 的双加法映射，对于每个有序对 $(\alpha, \beta)$ ，限制到 $\mathrm{gr}_\alpha(G) \times \mathrm{gr}_\beta(G)$ 是 $\phi_{\alpha\beta}$ 。映射 $\phi$ 给出 $\mathrm{gr}(G)$ 一个谎言 $\mathbf{Z}$ -代数结构。

(i) 回忆身份

(xx', y) = (x, y)x'(x', y)

对于 $G$ 中的 $x, x', y$ （*代数*、章I, § 6, no. 2、公式（4之二））。

对于 $x \in G_\alpha$ 和 $y \in G_\beta$ ， $G_{\alpha+\beta}$ 的元素 $(x, y)$ 对 $G_{\alpha+\beta}^+$ 取模类将表示为 $f(x, y)$ 。对于 $G_{\alpha+\beta}$ 中的 $a$ 和 $G$ 中的 $x'$ 、 $a^{-1}.ax' = (a, x') \in G_{\alpha+\beta}^+$ ；特别地， $f(x, y)$ 等于类对 $G_{\alpha+\beta}^+$ 对 $(x, y)x'$ 取模。公式 (15) 因此意味着

f(xx', y) = f(x, y)f(x', y).

现在 $(y, x) = (x, y)^{-1}$ ，从而

f(y, x) = f(x, y)^{-1}.

由(16)和(17)我们推导出

f(x, yy') = f(x, y)f(x, y').

我们必须证明映射 $f : G_\alpha \times G_\beta \to \mathrm{gr}_{\alpha+\beta}(G)$ 定义取商映射 $\phi_{\alpha\beta} : \mathrm{gr}_\alpha(G) \times \mathrm{gr}_\beta(G) \to \mathrm{gr}_{\alpha+\beta}(G)$ 。由(16)和(18)足以证明 $f(x, y) = 0$ 如果 $x \in G_\alpha^+$ 或 $y \in G_\beta^+$ ，这是从(13')得出的。

(ii) 作为 $(x, x) = e$ ，从 (17) 可以得出 $\phi$ 是交错的 $\mathbf{Z}$ -双线性映射。因此，还需要证明，对于 $u \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$ 、 $v \in \mathrm{gr}_\beta(G)$ 和 $w \in \mathrm{gr}_\gamma(G)$ ，

\phi(u, \phi(v, w)) + \phi(v, \phi(w, u)) + \phi(w, \phi(u, v)) = 0.

令 $x \in G_\alpha, y \in G_\beta$ 和 $z \in G_\gamma$ 为元素，分别代表 $u, v$ 和 $w$ 。我们知道 $x^y$ 和 $x$ 是 $G_\alpha$ 的两个元素，它们对模 $G_\alpha^+$ 全等，因此 $x^y$ 是 $G_\alpha$ 中 $u$ 的代表；由于 $(y, z)$ 是 $G_{\beta+\gamma}$ 中 $\phi(v, w)$ 的代表，我们看到 $(x^y, (y, z))$ 是 $G_{\alpha+\beta+\gamma}$ 中 $\phi(u, \phi(v, w))$ 的代表。通过循环置换，我们看到 $(y^z, (z, x))$ 和 $(z^x, (x, y))$ 分别代表 $G_{\alpha+\beta+\gamma}$ 中的 $\phi(v, \phi(w, u))$ 和 $\phi(w, \phi(u, v))$ 。关系 (19) 则为以下恒等式的推论 (代数, 章 I, § 6, no. 2, 公式 (15))：

(x^y, (y, z)).(y^z, (z, x)).(z^x, (x, y)) = e.

命题 1 中定义的李代数 $\mathrm{gr}(G)$ 超过 $\mathbf{Z}$ 称为与过滤后的群* $G$ 伴随的*分级李代数。

5. 中央过滤的例

令 $A$ 为单位结合律代数，并带有单位代数过滤 $(A_\alpha)$ ，使得 $A_0 = A$ ；那么 $A_\alpha$ 是所有 $\alpha \in \mathbf{R}$ 的 $A$ 的双面理想。让 $A^*$ 表示 $A$ 的可逆元中的乘法群。对于所有 $\alpha > 0$ ，令 $\Gamma_\alpha$ 表示 $x \in A^*$ 的集合，使得 $x - 1 \in A_\alpha$ ；我们将 $\beta \leq 0$ 写为 $\Gamma = \bigcup_{\alpha > 0} \Gamma_\alpha$ 和 $\Gamma_\beta = \Gamma$ 。

命题 2 0A4N

集合 $\Gamma$ 是 $A^*$ 的子群， $(\Gamma_\alpha)$ 是 $\Gamma$ 的中央过滤。

被以下引用 2

被以下引用注, 引理 1, II § 5

$\Gamma = \bigcup_{\alpha > 0} \Gamma_\alpha$ 由构造和关系 $\Gamma_\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} \Gamma_\beta$ 遵循 $A_\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} A_\beta$ 。

我们证明 $\Gamma_\alpha$ 是 $A^*$ 的子群。现在 $1 \in \Gamma_\alpha$ ；令 $x, y$ 位于 $\Gamma_\alpha$ 、从而 $x - 1 \in A_\alpha, y - 1 \in A_\alpha$ 中。由于 $A_\alpha$ 是 $A$ 的双面理想，公式

(21) \quad xy - 1 = (x - 1)(y - 1) + (x - 1) + (y - 1),

(22) \quad x^{-1} - 1 = -x^{-1}(x - 1),

意味着

xy - 1 \in A_\alpha

和

x^{-1} - 1 \in A_\alpha

，从而

xy \in \Gamma_\alpha

和

x^{-1} \in \Gamma_\alpha

。

作为 $\Gamma = \bigcup_{\alpha > 0} \Gamma_\alpha$ ，这是 $A^*$ 的子群。

最后让 $\alpha > 0, \beta > 0, x \in \Gamma_\alpha$ 和 $y \in \Gamma_\beta$ 。设 $x - 1 = \xi$ 和 $y - 1 = \eta$ 。然后

(23) \quad (x, y) - 1 = x^{-1}y^{-1}(\xi \eta - \eta \xi);

由假设、

\xi \in A_\alpha

和

\eta \in A_\beta

、从而

\xi \eta - \eta \xi \in A_{\alpha + \beta}

。因为

A_{\alpha + \beta}

是

A

、

(x, y) - 1 \in A_{\alpha + \beta}

、从而

(x, y) \in \Gamma_{\alpha + \beta}

的双面理想。

注 0A4O

设 $\alpha \geq 0, \beta \geq 0$ 和 $x \in \Gamma_\alpha, y \in \Gamma_\beta$ 。由公式 (21), (22) 和 (23),

(24) \quad x^{-1} - 1 \equiv -(x - 1) \pmod{A_{2\alpha}}

(25) \quad xy - 1 \equiv (x - 1) + (y - 1) \pmod{A_{\alpha + \beta}}

(26) \quad (x, y) - 1 \equiv [(x - 1), (y - 1)] \pmod{A_{\alpha + \beta + \inf(\alpha, \beta)}}.

我们证明例 (26)。如果 $x - 1 = \xi$ 和 $y - 1 = \eta$ ，则 (23) 给出：

(x, y) - 1 - [\xi, \eta] = ((x^{-1} - 1) + (y^{-1} - 1) + (x^{-1} - 1)(y^{-1} - 1))[\xi, \eta].

现在

[\xi, \eta] \in A_{\alpha + \beta}

，

(x^{-1} - 1) \in A_\alpha

，

(y^{-1} - 1) \in A_\beta

，从而我们得到（26）。

令 $G$ 为群且 $\rho : G \to \Gamma$ 同态。对于所有真实的 $\alpha$ ，我们写为 $G_\alpha = \rho^{-1}(\Gamma_\alpha)$ 。由于 $(\Gamma_\alpha)$ 是 $\Gamma$ 上的中央过滤，因此 $(G_\alpha)$ 是 $G$ 上的中央过滤是直接的。

命题 3 0A4P

(i) *对于所有 $\alpha \in \mathbf{R}$ ，存在唯一群同态 $g_\alpha : \mathrm{gr}_\alpha(G) \to \mathrm{gr}_\alpha(A)$ ，其中映射类对元素 $a \in G_\alpha$ 模 $G_\alpha^+$ 到类对 $\rho(a) - 1$ 模 $A_\alpha^+$ 。

被以下引用 2

被以下引用命题 2, II § 5, 定理 3, II § 5

(ii) 令 g 为 gr(G) 到 gr(A) 的群同态，其中限制到 gr_\alpha(G) 是所有 α 的 g_\alpha。映射 g 是李 \mathbf{Z}-代数的单同态。

(i) 令 α > 0。通过假设，对于 G_\alpha 中的所有 a，\rho(a) - 1 \in A_\alpha；设 p_\alpha(a) 表示 \rho(a) - 1 模 A_\alpha^+ 的类。由于 A_{2\alpha} \子集 A_\alpha^+，关系 (25) 意味着 p_\alpha(ab) = p_\alpha(a) + p_\alpha(b)。那么 a \in G_\alpha^+ 当且仅当 \rho(a) - 1 \in A_\alpha^+;因此 G_\alpha^+ 是 G_\alpha 的核同态 p_\alpha 到 gr_\alpha(A) 中。在经过上求商 p_\alpha，然后将 gr_\alpha(G) 的定义单同态 g_\alpha 代入 gr_\alpha(A)。

对于 \alpha \leq 0，gr_\alpha(G) = \{0\} 且唯一的选择是 g_\alpha = 0。

(ii) 由于 g_\alpha 对于所有实数 α 都是单射的，因此 g 是单射的。我们证明 g 是李代数同态。由于 gr_\alpha(G) = \{0\} 对于 \alpha \leq 0，只需建立公式

p_{\alpha+\beta}((a, b)) = [p_\alpha(a), p_\beta(b)]

对于 α > 0，β > 0，G_alpha 中的 rightarrow 和 G_beta 中的 b，由 (26) 得出。

6. 整体中央过滤

回想一下 (no. 1, 注)，如果对于每个整数 n 且所有 \alpha \in \{n-1, n\} 都有 G_\alpha = G_n，则群 G 上的过滤 (G_\alpha) 称为积分。在群 G 上给予积分中央过滤相当于给予 G 满足条件的子群序列 (G_n)_{n \geq 1}

(i) \quad G_1 = G (ii) \quad G_n \supset G_{n+1} \quad \text{对于所有 } n \geq 1 $(iii) \quad (G_m, G_n) \subset G_{m+n}$ 代表 $m \geq 1$ 和 $n \geq 1$ 。

对于每个整数 n \geq 1，G_n 是 G 的正规子群，并且商 gr_n(G) = G_n/G_{n+1} 是可交换的。在求商时，映射 (x, y) \mapsto (x, y) = x^{-1}y^{-1}xy of G_m \times G_n into G_{m+n} 允许我们在 gr(G) = \bigoplus_{n \geq 1} gr_n(G) 上定义分级李代数结构型 \mathbf{N} 超过环 \mathbf{Z}。

回想一下 (代数, 章 I, § 6, no. 3, 定义 5)，群 G 的下中心级数定义为

C^1G = G, \quad C^{n+1} = (G, C^nG) \quad \text{for } n \geq 1.

相应的过滤称为G的下中心过滤。

命题 4 0A4Q

(i) G 的下部中心级数是 G 上的整体中心过滤。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 A I § 6. 。扩张，可溶解群，惰性群

被以下引用定理 3, II § 5

(ii) 如果 (G_n)_{n \in \mathbf{N}^*} 是 G 上的积分中心过滤，则对于所有 n \in \mathbf{N}^* C^nG \子集 G_n。

断言(i)已在代数、章I, § 6, no. 3、公式(7)中得到证明。

我们通过 n 上的归纳证明 (ii)； C^1G = G = G_1;对于 n > 1，

C^nG = (G, C^{n-1}G) \subset (G, G_{n-1}) \subset G_n.

命题 5 0A4R

令 G 为群，gr(G) 为与 G 上的较低中心过滤相关的分级李 $\mathbf{Z}$ -代数。然后 gr(G) 由 $\mathrm{gr}_1(G) = G/(G, G)$ 生成。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 II § 2. 。免费李代数

被以下引用习题 7, § 4, 定理 3, II § 5

令L为 $\mathrm{gr}_1(G)$ 生成的gr(G)的谎言子代数；我们证明， $L \supset \mathrm{gr}_n(G)$ 乘以归纳在n上，断言对于 $n = 1$ 来说是微不足道的。假设 $n > 1$ 和 $L \supset \mathrm{gr}_{n-1}(G)$ 。由于 gr(G) 上 $C^nG = (G, C^{n-1}G)$ 、构造的李代数律立即表明

\mathrm{gr}_n(G) = [\mathrm{gr}_1(G), \mathrm{gr}_{n-1}(G)] \subset L.

上述证明表明李代数gr(G) (§ 2, no. 7)的下中心级数由下式给出

\mathscr{C}^n(\mathrm{gr}(G)) = \sum_{m \geq n} \mathrm{gr}_m(G).

注 0A4S

令 k 为 n 行的下三角矩阵的环、n 整数 $> 0$ 和 A 集合，k 中有 n 个列和元素。对于 $p \geq 0$ ，令 $A_p$ 为 $(x_{ij}) \in A$ 的集合，使得 $x_{ij} = 0$ 对应于 $i - j < p$ 。然后是 $A_0 = A$ 和 $A_pA_q \subset A_{p+q}$ 。让 $\Gamma_p = 1 + A_p$ 。那么 $\Gamma_1$ 是 $\mathbf{GL}(n, k)$ 的子群，称为阶n在k上的严格下三角群。通过no. 5的命题2， $(\Gamma_p)$ 是 $\Gamma_1$ 上的积分过滤。作为 $\Gamma_n = \{1\}$ ，我们看到群 $\Gamma_1$ 是幂零的（代数、章 I, § 6, no. 3、定义 6）。

引用了 2

引用了定义 6, A I § 6, 命题 2

习题

在下面的习题中，字母G表示群。

参见习题为 § 4。