习题 29, § 9

如果实李群 $G$ 是有限维的，则称为 of 型 (N)，

† 如需更多详细信息，cf. J. Tits，Sur une classe de 群 de Lie résolvs，*Bull。苏克。数学。 Belg.*，11 (1959)，第 100–115 页和 14 (1962)，第 196–209 页。

幂零的、连通和单连通。如果 G 是这样的群并且 g 是它的李代数, 映射 exp: 当 g 给定由 Hausdorff 律 (cf. 章 II, § 6, no. 5, 注 3) 定义的群结构时，g → G 是同构。令 log: G → g 表示逆同构。

(a) 令 V 为 g 的向量 Q 子空间。显示以下条件中的等价： (i) V 是 g 的李 Q 子代数； (ii) exp(V) 是 G 的子群。 （使用 § 6 章 II 中的习题 5。）

对于 G 的子群 H 为形式 exp(V)，其中 V 是 g 的向量 Q 子空间，H 在 G 中饱和是必要且充分的 (章 II, § 4, 习题 14)，即关系 x ∈ G, x^n ∈ H, n ≠ 0 意味着 x ∈ H (loc. cit.)。如果是这样，证明当且仅当 log(H) 是 g 的李 R 子代数时，H 是 G 的积分子群。

(b) 令 V 为有限维 m 的 g 的李 Q 子代数，令 (e_1, ..., e_m) 为 Q 上 V 的基，并令 Λ 为由 e_1, ..., e_m 生成的 V 的子群。 利用 Hausdorff 律是多项式这一事实，表明存在整数 d ≥ 1，这样，对于每个整数 r（d 的非零倍数），exp(rΛ) 是 G 的子群。 令 d 为 d 的整数且 r 倍数。 证明 exp(rΛ) 是离散的当且仅当 (e_1, ..., e_m) 是 R 上的自由族，即如果 V ⊗_Q R 的典范映射到 g 是单射的。 假设情况是这样；证明 G/exp(rΛ) 是紧的当且仅当 V ⊗_Q R → g 是双射的，即如果 V 是 g 的 Q 形式。 （为了证明条件是充分的，通过归纳论证g的幂零性类。）

(c) 相反，令 Γ 为 G 的离散子群，令 $\overline{\Gamma}$ 为其在 G 中的饱和度（章 II，前述），并令 $g_{\Gamma} = \log(\overline{\Gamma}) = Q.\log(\Gamma)$ 为相应的李 Q 子代数。假设 R.g = g，即 Γ 不包含在 G 的无明显积分子群中。令 z 为 Γ 的中心元素 ≠ 1，并令 x = log (z)。证明 g 的 x 属于到中心。如果 X = exp(Rx)，则证明 X/(Γ ∩ X) 是紧致的，并且 G/X 中 Γ 的像是离散的。通过归纳在暗淡 G 上论证，推论出 G/Γ 是紧的，并且 $g_{\Gamma}$ 是 g 的 G 形式。如果 Λ 是 $g_{\Gamma}$ 的晶格，则证明存在整数 d ≠ 0，使得 Γ 包含于 exp(dΛ) 并且 Γ 中 exp(dΛ) 的指标是有限的。

令 H 为 G 与李代数 h 的积分子群。证明 H/(H ∩ Γ) 是紧的，当且仅当 h 对于 Q 结构 $g_{\Gamma}$ 是有理数时（特别是如果 h 是 g 的下中心或上中心级数的项之一）。

(d) 令 Γ 为 G 的离散子群，令 H 为 G 包含于 Γ 的最小的积分子群，并令 h 为其李代数。证明 H/Γ 是紧致的，且 $g \otimes_Q R \to g$ 是单射且有像 h。 （将 (c) 应用于幂零群 H。）

(e) 令 Γ 为 G 的离散子群。证明存在 L(G) 的基 $(x_1, ..., x_q)$，具有以下性质： (i) 对于所有$i \in \{1, q\}$，$Rx_i + \cdots + Rx_q$是$Rx_{i-1} + \cdots + Rx_q$的理想$n_i$；

(iii) 存在$p \in \{1, q\}$使得$\Gamma$是乘积的集合

其中$m_p, \ldots, m_q$在$\mathbf{Z}$中； (iii) 如果 $G/\Gamma$ 是紧的，$\{n_1, n_2, \ldots, n_q\}$ 包含于 $g$ 的下中心级数。 （使用（d）和命题 16，约化它到$G/\Gamma$是紧的情况。然后用归纳对$\dim G$进行论证，使用（c）。）