Exercice 29, § 9

Un groupe de Lie réel G est dit de type (N) s’il est de dimension finie, nilpotent, connexe et simplement connexe. Si G est un tel groupe, et g son algèbre de Lie, l’application $\exp : g \to G$ est un isomorphisme lorsqu’on munit g de la structure de groupe définie par la loi de Hausdorff (cf. chap. II, § 6, no 5, Remarque 3). On note $\log : G \to g$ l’isomorphisme réciproque.

a) Soit V un $\mathbf{Q}$-sous-espace vectoriel de g. Montrer l’équivalence des conditions suivantes: (i) V est une $\mathbf{Q}$-sous-algèbre de Lie de g; (ii) $\exp(V)$ est un sous-groupe de G. (Utiliser l’exerc. 5 du § 6 du chap. II.)

Pour qu’un sous-groupe H de G soit de la forme $\exp(V)$, où V est un $\mathbf{Q}$-sous-espace vectoriel de g, il faut et il suffit que H soit saturé dans G (chap. II, § 4, exerc. 14), i.e. que les relations $x \in G, x^n \in H, n \neq 0$ entraînent $x \in H$ (loc. cit.). S’il en est ainsi, montrer que H est un sous-groupe intégral de G si et seulement si $\log(H)$ est une $\mathbf{R}$-sous-algèbre de Lie de g.

¹ Pour plus de détails, cf. J. TITS, Sur une classe de groupes de Lie résolubles, Bull. Soc. Math. Belg., t. XI (1959), p. 100–115 et t. XIV (1962), p. 196–209.

b) Soit V une Q-sous-algèbre de Lie de g de dimension finie m, soit $(e_1, \ldots, e_m)$ une base de V sur Q, et soit $\Lambda$ le sous-groupe de V engendré par $e_1, \ldots, e_m$. En utilisant le fait que la loi de Hausdorff est polynomiale, montrer qu’il existe un entier $d \geq 1$ tel que, pour tout entier r non nul multiple de d, $\exp(r\Lambda)$ soit un sous-groupe de G. Soient d un tel entier et r un multiple de d. Montrer que $\exp(r\Lambda)$ est discret si et seulement si $(e_1, \ldots, e_m)$ est une famille libre sur R, i.e. si l’application canonique de $V \otimes_Q \mathbf{R}$ dans g est injective. Supposons que ce soit le cas; montrer que $G/\exp(r\Lambda)$ est compact si et seulement si $V \otimes_Q \mathbf{R} \to g$ est bijective, i.e. si V est une Q-forme de g. (Pour montrer que la condition est suffisante, raisonner par récurrence sur la classe de nilpotence de g.) c) Inversement, soit $\Gamma$ un sous-groupe discret de G, soit $\overline{\Gamma}$ son saturé dans G (II, loc. cit.) et soit $g_\Gamma = \log(\overline{\Gamma}) = Q.\log(\Gamma)$ la Q-sous-algèbre de Lie correspondante. On suppose que $R.g = g$, i.e. que $\Gamma$ n’est contenu dans aucun sous-groupe intégral distinct de G. Soit z un élément $\neq 1$ du centre de $\Gamma$, et soit $x = \log(z)$. Montrer que x appartient au centre de g. Si $X = \exp(Rx)$, montrer que $X/(\Gamma \cap X)$ est compact, et que l’image de $\Gamma$ dans $G/X$ est discrète. En déduire, en raisonnant par récurrence sur dim G, que $G/\Gamma$ est compact, et que $g_\Gamma$ est une Q-forme de g. Si $\Lambda$ est un réseau de $g_\Gamma$, montrer qu’il existe un entier $d \neq 0$ tel que $\Gamma$ contienne $\exp(d\Lambda)$ et que l’indice de $\exp(d\Lambda)$ dans $\Gamma$ est alors fini. Soit H un sous-groupe intégral de G, d’algèbre de Lie $h$. Montrer que $H/(H \cap \Gamma)$ est compact si et seulement si $h$ est rationnelle par rapport à la Q-structure $g_\Gamma$ (en particulier si $h$ est l’un des termes de la suite centrale descendante — ou ascendante — de g). d) Soit $\Gamma$ un sous-groupe discret de G, soit H le plus petit sous-groupe intégral de G contenant $\Gamma$, et soit $h$ son algèbre de Lie. Montrer que $H/\Gamma$ est compact, et que $g \otimes_Q \mathbf{R} \to g$ est injectif et a pour image $h$. (Appliquer c) au groupe nilpotent H.) e) Soit $\Gamma$ un sous-groupe discret G. Montrer qu’il existe une base $(x_1, \ldots, x_q)$ de L(G) possédant les propriétés suivantes: (i) pour tout $i \in \{1, q\}$, $Rx_i + \cdots + Rx_q$ est un idéal $n_i$ de $Rx_{i-1} + \cdots + Rx_q$; (ii) il existe $p \in \{1, q\}$ tel que $\Gamma$ soit l’ensemble des produits

pour $m_p, \ldots, m_q$ dans $\mathbf{Z}$; (iii) si $G/\Gamma$ est compact, $\{n_1, n_2, \ldots, n_q\}$ contient la suite centrale descendante de g. (En utilisant d) et la prop. 16, se ramener au cas où $G/\Gamma$ est compact. Raisonner ensuite par récurrence sur dim G, en utilisant c).)