Bài tập 29, § 9

Một nhóm Lie thực $G$ được gọi là kiểu (N) nếu nó hữu hạn chiều,

† Để biết thêm chi tiết, xem J. Tits, Sur une classe de groupes de Lie résolubles, Bull. Soc. Math. Belg., 11 (1959), pp. 100–115 và 14 (1962), pp. 196–209.

lũy linh, liên thông và đơn liên thông. Nếu G là một nhóm như vậy và g là đại số Lie của nó, ánh xạ exp: g → G là một đẳng cấu khi g được trang bị cấu trúc nhóm xác định bởi luật Hausdorff (xem Chương II, § 6, no. 5, Nhận xét 3). Gọi log: G → g là đẳng cấu nghịch đảo.

(a) Cho V là một không gian con Q của g. Chứng minh sự tương đương của các điều kiện sau: (i) V là một đại số Lie Q con của g; (ii) exp(V) là một nhóm con của G. (Dùng Bài tập 5 của § 6 Chương II.)

Để một nhóm con H của G có dạng exp(V), trong đó V là một không gian con Q của g, điều kiện cần và đủ là H bão hòa trong G (Chương II, § 4, Bài tập 14), nghĩa là các quan hệ x ∈ G, x^n ∈ H, n ≠ 0 kéo theo x ∈ H (ntd.). Nếu điều này đúng, hãy chứng minh rằng H là một nhóm con nguyên của G khi và chỉ khi log(H) là một đại số Lie R con của g.

(b) Cho V là một đại số Lie Q con của g có chiều hữu hạn m, cho (e_1, ..., e_m) là một cơ sở của V trên Q và cho Λ là nhóm con của V sinh bởi e_1, ..., e_m. Dùng sự kiện rằng luật Hausdorff là đa thức, hãy chứng minh rằng tồn tại một số nguyên d ≥ 1 sao cho, với mọi số nguyên r là một bội khác không của d, exp(rΛ) là một nhóm con của G. Cho d là một số nguyên như vậy và r là một bội của d. Hãy chứng minh rằng exp(rΛ) rời rạc khi và chỉ khi (e_1, ..., e_m) là một họ tự do trên R, nghĩa là ánh xạ chính tắc từ V ⊗_Q R vào g là đơn ánh. Giả sử điều này đúng; hãy chứng minh rằng G/exp(rΛ) compact khi và chỉ khi V ⊗_Q R → g là song ánh, nghĩa là khi V là một Q-dạng của g. (Để chứng minh điều kiện đủ, hãy lập luận bằng quy nạp theo lớp lũy linh của g.)

(c) Ngược lại, cho Γ là một nhóm con rời rạc của G, cho $\overline{\Gamma}$ là bão hòa của nó trong G (Chương II, ntd.) và cho $g_{\Gamma} = \log(\overline{\Gamma}) = Q.\log(\Gamma)$ là đại số Lie Q con tương ứng. Giả sử rằng R.g = g, nghĩa là Γ không được chứa trong một nhóm con nguyên phân biệt nào của G. Cho z là một phần tử ≠ 1 của tâm của Γ và cho x = log (z). Hãy chứng minh rằng x thuộc tâm của g. Nếu X = exp(Rx), hãy chứng minh rằng X/(Γ ∩ X) là compact và ảnh của Γ trong G/X là rời rạc. Suy ra, bằng cách lập luận quy nạp theo dim G, rằng G/Γ là compact và rằng $g_{\Gamma}$ là một G-dạng của g. Nếu Λ là một dàn của $g_{\Gamma}$, hãy chứng minh rằng tồn tại một số nguyên d ≠ 0 sao cho Γ chứa exp(dΛ) và rằng chỉ số của exp(dΛ) trong Γ khi đó là hữu hạn.

Cho H là một nhóm con nguyên của G với đại số Lie h. Hãy chứng minh rằng H/(H ∩ Γ) là compact khi và chỉ khi h là hữu tỉ đối với cấu trúc Q $g_{\Gamma}$ (đặc biệt nếu h là một trong các số hạng của chuỗi trung tâm dưới—hoặc trên—của g).

(d) Cho Γ là một nhóm con rời rạc của G, cho H là nhóm con nguyên nhỏ nhất của G chứa Γ và cho h là đại số Lie của nó. Hãy chứng minh rằng H/Γ là compact và rằng $g \otimes_Q R \to g$ là đơn ánh và có ảnh là h. (Áp dụng (c) cho nhóm lũy linh H.)

(e) Cho Γ là một nhóm con rời rạc của G. Hãy chứng minh rằng tồn tại một cơ sở $(x_1, ..., x_q)$ của L(G) có các tính chất sau: (i) với mọi $i \in \{1, q\}$, $Rx_i + \cdots + Rx_q$ là một iđêan $n_i$ của $Rx_{i-1} + \cdots + Rx_q$;

(iii) tồn tại $p \in \{1, q\}$ sao cho $\Gamma$ là tập hợp các tích

trong đó $m_p, \ldots, m_q$ thuộc $\mathbf{Z}$; (iii) nếu $G/\Gamma$ là compact, $\{n_1, n_2, \ldots, n_q\}$ chứa chuỗi trung tâm dưới của $g$. (Dùng (d) và Mệnh đề 16, rút gọn về trường hợp $G/\Gamma$ là compact. Sau đó lập luận bằng quy nạp theo $\dim G$, dùng (c).)