(2)

c) If F is of type $\mathscr{C}$, then so is the cokernel of u, and we have

(3)

命题由正合序列的存在推出

那么我们有

(4)

让我们通过归纳在$n$上证明推论；情况 $n= 0$ 和 $n= 1$ 是微不足道的。所以让$n\geqslant 1$，然后让

为型$\mathscr{C}$模正合序列。到命题 1 时，$u_n$ 的核 F 是型 $\mathscr{C}$ 的模，我们有

此外，我们还有正合序列

归纳假设给出关系

然后我们立即从（5）和（6）推导出$\sum^{n+1}_{i=0}(-1)^i\varphi (E_i) = 0$，并得出推论。

a) 如果模 M 和 N 是型 $\mathscr{C}$，那么模 $M\cap N$ 和 M + N 也是，我们有

b) 如果模$E/M$和$E/N$是型$\mathscr{C}$，那么模$E/(M\cap N)$和$E/(M + N)$也是，我们有

断言 a) 和 b) 由正合序列的存在性推出

和

（II, §1, No. 7、p. 207、命题10）。

由于$\mathscr{C}$是遗传性的，模$E_0/E_1$和$E_1$是型$\mathscr{C}$，我们有$\varphi (E) =\varphi (E_0/E_1) +\varphi (E_1)$。由于序列$(E_{i+1})_{0\leqslant i\leqslant n-1}$是$E_1$中的合成列，命题3后面跟着$n$上的归纳。

b) 令G为阿贝尔的群，并令$\varphi :\mathscr{C}\rightarrow G$为模的加性函数。存在唯一同态$u: K(\mathscr{C})\rightarrow G$，因此对于型$\mathscr{C}$的每个模E，我们都有$\varphi (E) =u([E]_{\mathscr{C}})$。

断言 a) 是显而易见的。让我们证明b)。存在同态 $u':\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}\rightarrow G$ 扩展 $\varphi$。由于$\varphi$是可加的，因此对于型$\mathscr{C}$的模的每个正合序列$(\mathscr{E})$，我们有$u'(r_{\mathscr{E}}) = 0$；因而，R包含在$u'$的核中。因而，当经过到商时，$u'$定义同态$u$从$K(\mathscr{C})$到G，很明显，对于型$\mathscr{C}$的每一个A-模，我们都有$\varphi (E) =u([E]_{\mathscr{C}})$。 群$K(\mathscr{C})$是由元素$[E]_{\mathscr{C}}$的集合生成，其中E经过$\mathscr{C}$；接下来是$u$中的唯一性。

令$\mathscr{C}$和$\mathscr{D}$为加法集合或类或A-模，使得$\mathscr{C}\subset \mathscr{D}$。由于从n$\mathscr{C}$到格罗腾迪克群nK($\mathscr{D}$)的映射$E\mapsto [E]_{\mathscr{D}}$是可加的，因此存在同态$\gamma_{\mathscr{D},\mathscr{C}}: K(\mathscr{C})\rightarrow K(\mathscr{D})$，称为规范，其特征在于公式$\gamma_{\mathscr{D},\mathscr{C}}([E]_{\mathscr{C}}) = [E]_{\mathscr{D}}$对于型的每个模E $\mathscr{C}$。它并不总是单射的 (VIII, p. 210, 习题 13)。

使得 $E\oplus Q$ 与 $F\oplus P$ 同构的。

指定的条件就足够了，因为它意味着关系

给出$[E]_{\mathscr{C}}= [F]_{\mathscr{C}}$。

现在假设我们有$[E]_{\mathscr{C}}= [F]_{\mathscr{C}}$。到群$K(\mathscr{C})$的构造，存在型$\mathscr{C}$的正合序列、模的两个有限族

对于 $i\in I$ 和

对于$j\in J$，这样在$\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}$，我们有

cl(E) $-$ cl(F) $=\sum_{j\in J}r_{\mathscr{H}_j}-\sum_{i\in I}r_{\mathscr{G}_i}$。

更明确地说，这个关系可以写成

(7) cl(E) $+\sum_{i\in I}$ cl(G$_i$) $+\sum_{j\in J}$ cl(H$'_j$) $+\sum_{j\in J}$ cl(H$''_j$)

= cl(F) $+\sum_{i\in I}$ cl(G$'_i$) $+\sum_{i\in I}$ cl(G$''_i$) $+\sum_{j\in J}$ cl(H$_j$)。

集合 $G =\bigoplus_{i\in I}G_i, G'=\bigoplus_{i\in I}G'_i$等，由经过到直和，我们得到正合序列

$(\mathscr{G})$ 0 // ${G'}^p$ // G $^q$ // $G''$ // $0$,

$(\mathscr{H})$ 0 // ${H'}^r$ // 高 $^s$ // $H''$ // 0

型$\mathscr{C}$模由……组成。

接下来，令$M_1, . . . ,M_m,N_1, . . . ,N_n$为型$\mathscr{C}$中的A-模。如果我们在群 $\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}$ 中有 $\sum^m_{i=1}$ cl(M$_i$) $=\sum^n_{j=1}$ cl(N$_j$)，那么我们有 $m=n$ 并且存在置换 $\sigma \in \mathfrak{S}_m$ 使得 cl(M$_i$) $=$每 $1\leqslant i\leqslant m$（I, §7, No. 9、p. 95、命题 11）有 cl(N$_{\sigma(i)}$)。因而，模$\bigoplus^m_{i=1}M_i$和$\bigoplus^n_{j=1}N_j$是同构的。特别是，从（7），我们从$E\oplus Q$到$F\oplus P$推出同构的存在性，其中有集合

我们也集合

模L、M、P、Q 为型$\mathscr{C}$、序列

$(\mathscr{E})$ 0 // L $^{\lambda}$ // P $^\mu$ // M // $0$,

我们定义 $\lambda$ 和 $\mu$

是准确的。我们构造正合序列

以同样的方式；这个结论证明。

集合 $\mathscr{C}$ 是合成 $(E,E')\mapsto$ cl(E$\oplus E'$) 的律的交换幺半群。 We sometimes denote the group of differences of the commutative monoid $\mathscr{C}$ (I, §2, No. 4, p. 20) by $K'(\mathscr{C})$ and call it the Grothendieck group of $\mathscr{C}$ for direct sums. 对于型 $\mathscr{C}$ 的任意模 E，我们将 $K'(\mathscr{C})$ 中 cl(E) 的像表示为 $[E]'_{\mathscr{C}}$。

b) 令G为阿贝尔的群，并令$\varphi :\mathscr{C}\rightarrow G$为模的弱可加函数。存在唯一群同态 $u: K'(\mathscr{C})\rightarrow$ G，这样对于型 $\mathscr{C}$ 的每个模 E，我们都有 $\varphi (E) =u([E]'_{\mathscr{C}})$。

c) 令 E 和 F 为型 $\mathscr{C}$ 中的模。我们有$[E]'_{\mathscr{C}}= [F]'_{\mathscr{C}}$当且仅当存在型$\mathscr{C}$的模M，使得$E\oplus M$同构于$F\oplus M$。

断言 a) 是显而易见的。 断言 b) 由 (I, §2, No. 4, p. 19, 定理 1) 得出，断言 c) 由 (I, §2, No. 4, p. 18, 命题 6) 得出。

由于从$\mathscr{C}$到$K(\mathscr{C})$的映射$E\mapsto [E]_{\mathscr{C}}$是模的弱可加函数，我们可以从中推导出同态$u: K'(\mathscr{C})\rightarrow K(\mathscr{C})$。这个同态是满射的，但并不总是同构 (VIII, p. 191, 注 2)。

令$R'$为由形式$r_{\mathscr{E}}$的元素生成的$\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}$的子群，其中$\mathscr{E}$为型$\mathscr{C}$的A-模的分裂正合序列，即形式 cl(E$'\oplus E''$)$-$ cl(E$'$)$-$ cl(E$''$)的元素，其中$E'$和$E''$是型的模 $\mathscr{C}$。 典范映射从$\mathscr{C}$到商群$\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}/R'$扩展到群同态$v: K'(\mathscr{C})\rightarrow \mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}/R'$。这是同构。事实上，典范映射从$\mathscr{C}$到$K'(\mathscr{C})$扩展到群同态从$\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}$到$K'(\mathscr{C})$其核包含$R'$，因此到同态 $v':\mathbf{Z}^{(\mathscr{C})}/R'\rightarrow K'(\mathscr{C})$除以经过商；显然$v$和$v'$是逆双射。

如果形式$[E]'_{\mathscr{C}}$对于A-模E of 型$\mathscr{C}$，则$K'(\mathscr{C})$的元素被称为有效。 $K'(\mathscr{C})$的有效元素中的集合用$K'(\mathscr{C})^+$表示。

0 // ${E'}^i$ // E $^p$ // $E''$ // 0

正合序列。我们有$\ell_S(E) =\ell_S(E') +\ell_S(E'')$。

令$\Sigma '$和$\Sigma ''$分别为Jordan–Hölder级数除以$i(E')$和$E/i(E')$。存在 E 的 Jordan-Hölder 级数 Σ，其商序列可以通过将 Σ 的商序列与 $\Sigma '$ 的商并列获得（I, §4, No. 8，p. 44）。

对于型$\mathscr{C}$的每个模E。

公式 (8) 从应用于 E 的 Jordan–Hölder 级数的命题 3 得出。到引理 1，对于 $\mathscr{S}$ 的每个元素 S，存在从 $K(\mathscr{C})$ 到 $\mathbf{Z}$ 线性映射 $\varphi_S$ $\mathbf{Z}$使得$\varphi_S([E]_{\mathscr{C}}) =\ell_S(E)$对于型$\mathscr{C}$的每个模E。特别是，对于$\mathscr{S}$中的每个$S'\not= S$，我们都有$\varphi_S([S]_{\mathscr{C}}) = 1$和$\varphi_S([S']_{\mathscr{C}}) = 0$。由此可见，形式 $[S]_{\mathscr{C}}$（对于$S\in \mathscr{S}$）的元素与$\mathbf{Z}$线性无关；这些元素生成 $K(\mathscr{C})$ 公式 (8)。

事实上，对于 F，我们有 $[E]_{\mathscr{C}}=\sum_{S\in\mathscr{S}}\ell_S(E)[S]_{\mathscr{C}}$ 和类似的公式，并且当且仅当我们对每个$S\in \mathscr{S}$（VIII，p. 72）都有$\ell_S(E) =\ell_S(F)$时，E 与 F 同构。

对于 A 中的每个$a\not= 0$。

令P为A的不可约元的代表由……组成的系统(VII, §1, No. 3，p. 3)。 A 的最大理想是 $p\in P$ 的理想 $pA$；因而，每个单A-模都同构于唯一的模 $A/pA$。而且（VII, §1, No. 3，p. 4，定理2），阿贝尔的群$L^*/A^*$是免费的，并且有家人$(pA^*)_{p\in P}$为基。因而，从 R(A) 到 $L^*/A^*$，存在同构 $\varphi$，其特征在于，对于每个 $p\in P$，其特征为 $\varphi ([A/pA]) =pA^*$。

设 A 中存在 $a\not= 0$，P 存在整数 $r\geqslant 0$、元素 $p_1, . . . , p_r$，$A^*$ 存在元素 $u$，因此我们有 $a=up_1\cdots p_r$。 模 $A/aA$ 承认合成列定义为

并且模$E_{i-1}/E_i= (p_1\cdots p_{i-1}A)/(p_1\cdots p_iA)$同构于$A/p_iA$。因此我们有 (VIII, p. 185, 命题 3)

假设存在$a\in A$使得$a_M= 0_M$和$a_{M'}= 1_{M'}$。令 S 为单A-模。如果 cl(S) 属于到 M 的支持$\mathscr{S}_M$，则 A-模 S 同构于 M 的 Jordan–Hölder 级数的商之一，并且我们有 $a_S= 0_S$。同样，如果 cl(S) 属于到 M’ 的支持$\mathscr{S}_{M'}$，则我们有 $a_S= 1_S$。由此可见$\mathscr{S}_M$和$\mathscr{S}_{M'}$是不相交的。

相反，假设集合$\mathscr{S}_M$和$\mathscr{S}_{M'}$是不相交的。它们是有限的，因为 M 和 $M'$ 在 K 上是有限维的。每个单A-模 S 的类属于到 $\mathscr{S}_M\cup \mathscr{S}_{M'}$ 在 K 上是有限维的，并且更不必说在域 End$_A(S)$ 上是有限维的。根据命题 4 (VIII, p. 83) 的推论 1，存在元素 $b\in A$，这样对于每个单A-模 S，其类属于都有 $b_S= 0_S$（或 $b_S= 1_S$） $\mathscr{S}_M$（分别为$\mathscr{S}_{M'}$）。令 $(M_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ 为 M 的 Jordan–Hölder 级数。根据上述，我们有 $bM_i\subset M_{i+1}$ 对应于 $0\leqslant i < n$，因此有 $(b^n)_M= 0_M$。同理证明自然数$m$的存在性$((1-b)^m)_{M'}= 0_{M'}$。 集合$P(X) = 1-(1-X^n)^m$和$a= P(b)$。多项式P(X)是$X^n$的倍数，所以我们有$a_M= 0_M$，而多项式$1-P(X)$是$(1-X)^m$的倍数，所以我们有$a_{M'}= 1_{M'}$。这个结论证明。

令 L 为 K 的扩张。如果 M 为 A-模，即 K 上的有限维，则 $M_{(L)}$ 是 $A_{(L)}$ 模，即 L 上的有限维。此外，每正合序列

A-模、序列 $A_{(L)}$ 模块

由标量扩张推导出来是精确的（II, §7, No. 7、p. 308、命题 14）。因此，存在一个唯一的环同态 $u: R_K(A)\rightarrow$ $R_L(A_{(L)})$，使得对于每个在 K (No. 5) 上有限维的 A-模 M 都有 $u([M]) = [M_{(L)}]$。

到引理 2，存在元素 $a\in A$，使得$a_S= 0$ 和$a_T= 1$。 $A_{(L)}$的元素$1\otimes a$在$S_{(L)}$上充当0，在$T_{(L)}$上充当1。到引理 2，$A_{(L)}$模块$S_{(L)}$和$T_{(L)}$的支持度为不相交的。

让我们证明定理 1。设$\mathscr{S}$是单A-模的类的集合，它们是K上的有限维。族$([S])_{S\in\mathscr{S}}$是$\mathbf{Z}$模$R_K(A)$的基。让$S\in \mathscr{S}$。 $A_{(L)}$-模块$S_{(L)}$不是零，所以它的支持不为空。令$S'$ 为该支持的元素。通过VIII、p. 190的引理 1，存在同态$f_{S'}: R_L(A_{(L)})\rightarrow \mathbf{Z}$，使得$f_{S'}([E]) =\ell_{S'}(E)$对于每个在L上有限维的$A_{(L)}$模E。我们有$f_{S'}([S_{(L)}])\not= 0$乘构造和$f([T_{(L)}]) = 0$对于每个$T\in \mathscr{S}-\{S\}$乘引理3。因此我们证明元素或$R_L(A_{(L)})$的形式$[S_{(L)}]$对于$S\in \mathscr{S}$是线性独立的$\mathbf{Z}$。由此可见同态 $u$ 是单射的。

令$S\in \mathscr{S}$，并令$S'$为$S_{(L)}$的支持度元素。对于每个$\xi \in R_K$(A)，基$([S])_{S\in\mathscr{S}}$中指标[S]的$\xi$的坐标是$f_{S'}(u(\xi ))/[S_{(L)}: S']$。由此可见，如果$u(\xi )$有效，那么$\xi$也有效。