习题 14, § 10

令 E 为域 K 上的维数 $\geqslant 2$ 的向量空间。

(a) 证明射影群 $\mathbf{PGL}(E)$ 正则同构于线性群 $\mathbf{GL}(E)$ 与其中心的商（同构于 K 的中心的乘法群、cf. § 1、习题 26）。

(b) 令$\mathbf{PSL}(E)$表示$\mathbf{PGL}(E)$中群$\mathbf{SL}(E)$的典范像；当$E$是有限维时，它是$\mathbf{PGL}(E)$的正常子群，包含换位子群$\mathbf{PGL}(E)$。 证明 $\mathbf{PSL}(E)$ 是$\mathbf{P}(E)$ 置换的*双重及物* (cf. I, § 5, 习题 14) 群。

(c) 令$a \neq 0$为$E$中的元素，并令$e = \pi(a) \in \mathbf{P}(E)$（在§ 9, no. 6中的记号中）。证明形式$x \mapsto x + a \phi(x)$（其中$\phi \in E^*$使得$\phi(a) = 0$）的横穿构成$\mathbf{SL}(E)$的交换子群；如果$\Gamma_e$是$\mathbf{PSL}(E)$中这个子群的像，则$\Gamma_e$是$\mathbf{PSL}(E)$的子群$\Phi_e$的正常子群，而$e$不变。还显示$\mathbf{PSL}(E)$ 生成 $\mathbf{PSL}(E)$ 中子群共轭到$\Gamma_e$ 的并。

(d) 令$\Sigma$为集合$F$的置换的原语群（I, § 5，习题13），等于其换位子群。假设存在元素 $c \in F$，使得 $\Sigma$ 的子群 $\Phi_c$ 留下 $c$ 不变包含一个交换法线子群 $\Gamma_c$，使得子群的并 $\Sigma$生成$\Sigma$中的共轭到$\Gamma_c$。表明在这些条件 $\Sigma$ 下是*简单*。 （令$\Delta$是$\Sigma$的正常子群，与恒等式不同；使用I, § 5、习题17，证明$\Sigma = \Delta . \Phi_c = \Delta . \Gamma_c$，并利用$\Gamma_c$可交换的事实，推导出每个换位子 $\Sigma$包含在$\Delta$中。）

(e) 从 (c)、(d) 和习题 13(c) 推论群 $\mathbf{PSL}(E)$ 是*简单的*，除非 $\dim E = 2$ 和 $K$ 有 2 或 3 个元素。

(f) 如果$\dim E = n + 1$和$K$是域且$q$元素，则证明$\mathbf{PGL}(E)$的阶是

（使用 (a)、§ 9 的习题 9(a)，并且$K$必然是可交换的（V, § 11、习题 14 和 VIII, § 11, no. 1、定理 1)）。*

(g) 证明如果 $\dim E = 2$ 和 $K$ 是域且 2（分别为 3）元素，则 $\mathbf{PSL}(E)$ 同构于对称对称群 $S_3$（分别为交错的群） $A_4$）。 （考虑到$\mathbf{PSL}(E)$是$\mathbf{P}(E)$的置换的群，注它包含每个转置（分别是每个循环$(a\ b\ c)$并使用f）。）

(h) 表明，除了(g)中考虑的情况外，与$\mathbf{SL}(E)$不同的$\mathbf{SL}(E)$的每个正态子群都包含在$\mathbf{SL}(E)$的中心中（使用（d））并且事实上，每个横流在$\mathbf{SL}(E)$中都是换位子（习题） 13(c)))。