Bài tập 14, § 10

Cho $E$ là một không gian vectơ có chiều $\geqslant 2$ trên một trường $K$. a) Chứng minh rằng nhóm xạ ảnh $\mathbf{PGL}(E)$ đẳng cấu chính tắc với thương của nhóm tuyến tính $\mathbf{GL}(E)$ bởi tâm của nó (đẳng cấu với nhóm nhân của tâm của $K$, xem II, p. 182, bài tập 26). b) Gọi $\mathbf{PSL}(E)$ là ảnh chính tắc của nhóm $\mathbf{SL}(E)$ (bài tập 13) trong $\mathbf{PGL}(E)$; nó là một nhóm con chuẩn của $\mathbf{PGL}(E)$, chứa nhóm giao hoán tử của $\mathbf{PGL}(E)$ khi $E$ có số chiều hữu hạn. Chứng minh rằng $\mathbf{PSL}(E)$ là một nhóm bắc cầu kép (I, p. 131, bài tập 14) của các phép hoán vị của $\mathbf{P}(E)$. c) Cho $a \neq 0$ là một phần tử của $E$, và cho $e = \pi(a) \in \mathbf{P}(E)$ (với các ký hiệu của II, p. 133). Chứng minh rằng các phép xuyên vị có dạng $x \mapsto x + a \varphi(x)$ (trong đó $\varphi \in E^*$ sao cho $\varphi(a) = 0$) tạo thành một nhóm con giao hoán của $\mathbf{SL}(E)$; nếu $\Gamma_e$ là ảnh của nhóm con này trong $\mathbf{PSL}(E)$, thì $\Gamma_e$ là một nhóm con chuẩn của nhóm con $\Phi_e$ của $\mathbf{PSL}(E)$ giữ $e$ bất biến. Chứng minh thêm rằng hợp của các nhóm con liên hợp của $\Gamma_e$ trong $\mathbf{PSL}(E)$ sinh ra $\mathbf{PSL}(E)$. d) Cho $\Sigma$ là một nhóm nguyên thủy (I, p. 131, bài tập 13) các phép hoán vị của một tập hợp $F$, bằng nhóm giao hoán tử của chính nó. Giả sử tồn tại một phần tử $c \in F$ sao cho nhóm con $\Phi_c$ của $\Sigma$ giữ $c$ bất biến chứa một nhóm con chuẩn giao hoán $\Gamma_c$, sao cho hợp của các nhóm con liên hợp của $\Gamma_c$ trong $\Sigma$ sinh ra $\Sigma$. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này $\Sigma$ là đơn. (Cho $\Delta$ là một nhóm con chuẩn của $\Sigma$ phân biệt với đơn vị; sử dụng I, p. 131, bài tập 17, chứng minh rằng có $\Sigma = \Delta . \Phi_c = \Delta . \Gamma_c$, và sử dụng sự kiện rằng $\Gamma_c$ là giao hoán, suy ra rằng mọi giao hoán tử trong $\Sigma$ được chứa trong $\Delta$.) e) Suy ra từ c), d) và bài tập 13 c) rằng nhóm $\mathbf{PSL}(E)$ là đơn trừ khi $\dim E = 2$ và $K$ có 2 hoặc 3 phần tử. f) Nếu $\dim E = n + 1$ và nếu $K$ là một trường có $q$ phần tử, chứng minh rằng cấp của $\mathbf{PGL}(E)$ là

(sử dụng a), bài tập 9 a) của II, p. 202, và sự kiện rằng $K$ nhất thiết giao hoán (V, § 11, bài tập 14 và VIII, § 11, no. 1, đl. 1)). g) Chứng minh rằng nếu $\dim E = 2$ và nếu $K$ là một trường có 2 (tương ứng 3) phần tử, $\mathbf{PSL}(E)$ đẳng cấu với nhóm đối xứng $S_3$ (tương ứng với nhóm phản xứng $A_4$). (Xét $\mathbf{PSL}(E)$ như một nhóm hoán vị của $\mathbf{P}(E)$, nhận xét rằng nó chứa mọi phép chuyển vị (tương ứng mọi chu trình $(a\ b\ c)$) và sử dụng f)). h) Chứng minh rằng, trừ các trường hợp đã xét trong g), mọi nhóm con chuẩn của $\mathbf{SL}(E)$ phân biệt với $\mathbf{SL}(E)$ đều được chứa trong tâm của $\mathbf{SL}(E)$ (sử dụng d) và sự kiện rằng mọi phép xuyên vị là một giao hoán tử trong $\mathbf{SL}(E)$ (bài tập 13 c))).