Exercice 14, § 10

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $\geqslant 2$ sur un corps $K$. a) Montrer que le groupe projectif $\mathbf{PGL}(E)$ est canoniquement isomorphe au quotient du groupe linéaire $\mathbf{GL}(E)$ par son centre (isomorphe au groupe multiplicatif du centre de $K$, cf. II, p. 182, exerc. 26). b) On désigne par $\mathbf{PSL}(E)$ l’image canonique du groupe $\mathbf{SL}(E)$ (exerc. 13) dans $\mathbf{PGL}(E)$; c’est un sous-groupe distingué de $\mathbf{PGL}(E)$, contenant le groupe des commutateurs de $\mathbf{PGL}(E)$ lorsque $E$ est de dimension finie. Montrer que $\mathbf{PSL}(E)$ est un groupe deux fois transitif (I, p. 131, exerc. 14) de permutations de $\mathbf{P}(E)$. c) Soit $a \neq 0$ un élément de $E$, et soit $e = \pi(a) \in \mathbf{P}(E)$ (avec les notations de II, p. 133). Montrer que les transvections de la forme $x \mapsto x + a \varphi(x)$ (où $\varphi \in E^*$ est telle que $\varphi(a) = 0$) constituent un sous-groupe commutatif de $\mathbf{SL}(E)$; si $\Gamma_e$ est l’image de ce sous-groupe dans $\mathbf{PSL}(E)$, $\Gamma_e$ est un sous-groupe distingué du sous-groupe $\Phi_e$ de $\mathbf{PSL}(E)$ laissant invariant $e$. Montrer en outre que la réunion des sous-groupes conjugués de $\Gamma_e$ dans $\mathbf{PSL}(E)$ engendre $\mathbf{PSL}(E)$. d) Soit $\Sigma$ un groupe primitif (I, p. 131, exerc. 13) de permutations d’un ensemble $F$, qui soit égal à son groupe des commutateurs. On suppose qu’il existe un élément $c \in F$ tel que le sous-groupe $\Phi_c$ de $\Sigma$ laissant invariant $c$ contienne un sous-groupe distingué commutatif $\Gamma_c$, tel que la réunion des sous-groupes conjugués de $\Gamma_c$ dans $\Sigma$ engendre $\Sigma$. Montrer que dans ces conditions $\Sigma$ est simple. (Soit $\Delta$ un sous-groupe distingué de $\Sigma$ distinct de l’identité; utilisant I, p. 131, exerc. 17, montrer que l’on a $\Sigma = \Delta . \Phi_c = \Delta . \Gamma_c$, et en utilisant le fait que $\Gamma_c$ est commutatif, en déduire que tout commutateur dans $\Sigma$ est contenu dans $\Delta$.) e) Déduire de c), d) et de l’exerc. 13 c) que le groupe $\mathbf{PSL}(E)$ est simple sauf lorsque $\dim E = 2$ et que $K$ a 2 ou 3 éléments. f) Si $\dim E = n + 1$ et si $K$ est un corps à $q$ éléments, montrer que l’ordre de $\mathbf{PGL}(E)$ est

(utiliser a), l’exerc. 9 a) de II, p. 202, et le fait que $K$ est nécessairement commutatif (V, § 11, exerc. 14 et VIII, § 11, n° 1, th. 1)). g) Montrer que si $\dim E = 2$ et si $K$ est un corps à 2 (resp. 3) éléments, $\mathbf{PSL}(E)$ est isomorphe au groupe symétrique $S_3$ (resp. au groupe alterné $A_4$). (Considérant $\mathbf{PSL}(E)$ comme groupe de permutations de $\mathbf{P}(E)$, remarquer qu’il contient toute transposition (resp. tout cycle $(a\ b\ c)$) et utiliser f)). h) Montrer que, sauf dans les cas considérés dans g), tout sous-groupe distingué de $\mathbf{SL}(E)$ distinct de $\mathbf{SL}(E)$ est contenu dans le centre de $\mathbf{SL}(E)$ (utiliser d) et le fait que toute transvection est un commutateur dans $\mathbf{SL}(E)$ (exerc. 13 c))).