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§ 21。 线性表示有限群

在这个截面中，G是群，K是交换环。如果G是有限群，那么我们用K的$|G|$元素Card(G)$\cdot 1$来表示。从No. 5开始，我们假设群G是有限的，环K是代数闭域，并且$|G|$不是零。

1. Linear Representations

设$\pi$为K-模M中G的线性表示。我们还说对$(M, \pi )$是G的线性表示。当K为非零的且M为自由K-模时，M的维数称为次数（或维数）表示$\pi$。

回想一下，从 G 到群 G 的代数 K[G] 的典范映射 $g\mapsto e_g$ 是 K-模 K[G] 的基。通过滥用记号，我们还用$g$表示K[G]的元素$e_g$。给定G的线性表示$\pi : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(M)$，从K[G]到End$_K(M)$存在K-代数的唯一同态即扩展$\pi$(III, §2, No. 6，p. 447，例)；我们也用 $\pi$ 表示这个扩张。它是 M 中代数 K[G] 的表示 (VIII, p. 373, 定义 1)，因而 M 是 K[G] 模。相反，M 中 G 的定义线性表示的每一个代数 K[G] 线性表示 $\rho$ 由 $g\mapsto \rho (g)$ 给出。

我们将关于K[G]-模结构的术语自由地应用于群G的线性表示。对于例，我们谈论子表示，简单的表示，表示的直和等。令$(M, \pi )$和$(M', \pi ')$为G 的线性表示；我们用 K[G]-模块的同态的 Hom$_G(\pi , \pi ')$ K-模 Hom$_{K[G]}(M,M')$ 表示从 M 到 $M'$.[^1]

如果对于 G 的元素的每个对 $(g, g')$ 有 $f(gg') =$ $f(g'g)$，则从 G 到 K 的映射 $f$ 称为中心函数；等价地，对于G的元素$g, h$的每个对，我们有$f(ghg^{-1}) =$$f(h)$。因此中心函数是G上的函数，其限制到每个共轭类是恒定的。它们从G到K的形式子模、空间、映射，记为$\mathscr{Z}_K(G)$。当G有限时，K-代数$\mathscr{Z}_K(G)$是G的共轭类维数数自由K-模。代数K[G]的中心Z(K[G])由元素$a=\sum a_gg$组成K[G]使得对于每个$h\in G$有$hah^{-1}=a$。现在，我们有

因而，当 G 有限时，代数 K[G] 的中心 Z(K[G]) 由中心函数组成。

令$(M, \pi )$为G的线性表示。假设M为有限维自由K-模。 $\pi$的迹是K[G]的表示与$\pi$相关的迹，即K[G]上的(VIII，p. 382)、线性形式$a\mapsto$Tr($\pi (a)$)。这个线性形式是由G到K的映射$g\mapsto$Tr($\pi (g)$)决定的，我们称之为表示$\pi$的特征标并用$\chi_{\pi}$表示。 表示的特征标是中心函数（II, §4, No. 3、p. 273、命题 3）。

设 M 和 $M'$ 为有限维自由K-模。令$\pi$和$\pi '$分别为M和$M'$中G的线性表示。那么$M\oplus M'$就是有限维自由K-模，并且通过III, §9, No. 2、p. 543的命题 1，我们有

更一般地，让

为 K[G] 模的正合序列，并令 $\pi ,\pi '$ 和 $\pi ''$ 分别为与 $M, M'$ 和 $M''$ 伴随的 G 的线性表示。假设 K-模 $M'$ 和 $M''$ 是自由且有限维的。那么 M (II, §1, No. 11, p. 218, 命题 21) 也是如此，我们有

2. 马施克定理

3. 感应和上诱导表示

令 H 为群 G 的子群。

如果$(V, \pi )$是G的线性表示，那么$\pi$到H的限制就是V中H的线性表示；我们用 Res$^G_H(\pi )$ 表示它。与 Res$^G_H(\pi )$ 伴随的 K[H]模只是从 K[G] 模 V 通过标量的限制 (II, §1, No. 13、p. 221) 推导出来的模。如果V为有限维自由K-模，则Res$^G_H(\pi )$的特征标到H为$\pi$的特征标限制。

令 $(M, \sigma )$ 为 H 的表示。

我们将 K[G] 视为 $(K[G]$，K[H]) 双模，将 M 视为 K[H]-模。 G 的 K[G]-模 $\mathscr{T}(M) = K[G]\otimes_{K[H]}M$ (VIII, p. 58) 定义线性表示，记为 Ind$^G_H(\sigma )$，称为由 $\sigma$ 诱发的 G 的表示。如果$(V, \pi )$是G的线性表示，则K[H]-模块$\mathscr{H}(V) =$Hom$_{K[G]}(K[G],V)$可以用K[H]-模块相应的到表示Res$^G_H(\pi )$来识别。因而， 伴随态射 (VIII, p. 59) 给出 K-模同构，称为规范，从 Hom$_H(\sigma$、Res$^G_H(\pi ))$ 到 Hom$_G$(Ind$^G_H(\sigma ), \pi$ ) （“弗罗贝尼乌斯互易律”）。

我们将 K[G] 视为 $(K[H]$, K[G])-双模。 G 的 K[G]-模 $\mathscr{H}(M) =$ Hom$_{K[H]}(K[G],M)$ 定义表示，记为 Coind$^G_H(\sigma )$，称为由 $\sigma$ 共同诱导的 G 的表示。如果$(V, \pi )$是G的线性表示，则K[H]-模$\mathscr{T}(V) = K[G]\otimes_{K[G]}V$可以用K[H]-模相应的到表示Res$^G_H(\pi )$来识别。因而，伴随态射（loc.cit.）给出K-模同构，称为规范，从Hom$_H$（Res$^G_H(\pi ), \sigma$）到Hom$_G(\pi$，Coind$^G_H(\sigma ))$。

令 $\varepsilon : K[G]\rightarrow K[H]$ 为 K-模同态，如果 $h\in$ H，则为关系 $\varepsilon (h) =h$；如果 $g\in G$ - H，则为 $\varepsilon (g) = 0$。 映射 $\varepsilon$ 为同态 $(K[H]$, K[H])-双模。令$(M, \sigma )$为H的线性表示。映射$v\mapsto v\circ \varepsilon$从Hom$_{K[H]}(K[H],M)$到Hom$_{K[H]}(K[G],M)$是K[H]-模的同态。通过将 M 与 Hom$_{K[H]}(K[H],M)$ 进行识别，我们获得了从 M 到 Res$^G_H$(Coind$^G_H(\sigma )$) 的 K[H]-模的同态。 弗罗贝尼乌斯互易律将其发送到从Ind$^G_H(\sigma )$到特征为关系的Coind$^G_H(\sigma )$的K[G]模块的同态$\iota$

对于 $g, g'\in G$ 和 $m\in M$。这个同态被称为规范的。

4. Representations and the Grothendieck Group

在这个小节中，我们假设K是交换域。给定 G 的有限维线性表示 $(M, \pi )$，我们用 Grothendieck 环 $R_K(G)$ (VIII, p. 198, 例 1) 中 K[G]-模 M 的 $[\pi ]$ 类表示。

通过环 $R_K$(G)上合成的律的定义，如果$\pi$和$\pi '$是G的有限维线性表示，那么我们有

环$R_K(G)$的单位元是G的单位表示类(VIII，p. 399，例1)。

环 $R_K(G)$ 是一个自由 $\mathbf{Z}$ 模，其中基集合为类的简单 K[G] 模，有限维在 K 上。当 $|G|$ 在 K 中可逆时，两个有限维表示同构当且仅当它们具有相同的性质$R_K(G)$中的类（VIII、p. 190，推论和p. 401，推论1）。

对于 G 的每个有限维线性表示 $(M, \pi )$，其矛盾 $\pi^{\vee}$ 也是有限维的。 表示 $\pi$ 和 $(\pi^{\vee})^{\vee}$ 同构的。如果$\pi '$也是G的有限维线性表示，则表示$(\pi \otimes \pi ')^{\vee}$和$\pi^{\vee}\otimes \pi^{'\vee}$同构的。如果

是 K[G]-模的正合序列在 K 上的有限维，则同余表示给出 K[G]-模的正合序列

（II, §7, No. 5，p. 299，定理 5 的推论）。对于格罗滕迪克群 (VIII, p. 186, 命题 4) 的泛性质，对于每个有限维线性表示，存在环 $R_K(G)$ 的自同构 $c\mapsto c^{\vee}$，其特征为$[\pi ]^{\vee}= [\pi^{\vee}]$ G 的$\pi$； $R_K(G)$中每元素$c$就有$(c^{\vee})^{\vee}=c$。

令 H 为 G 的子群。限制保留正合序列。通过格罗滕迪克群的泛性质（前述），因此存在群同态，用Res$^G_H$表示，从$R_K(G)$到$R_K(H)$，其特征为关系

(6) 分辨率$^G_H[\pi ] =$ [分辨率$^G_H(\pi )]$

对于 G 的每个有限维线性表示 $\pi$；是环同态。如果H在G中具有有限的指标，那么通过II, §7, No. 7，p. 306的命题 14，我们可以得到定义，类似地，群同态Ind$^G_H$从$R_K(H)$到$R_K(G)$的特征为关系

(7) 工业$^G_H[\sigma ] =$ [工业$^G_H(\sigma )]$

对于 H 的每个有限维线性表示 $\sigma$。

由上述VIII、p. 399的关系(1)和VIII、p. 400、泛性质、格罗滕迪克群的(3)，存在环同态$\Theta_G$ G 上中心函数的$R_K(G)$到代数$\mathscr{Z}_K(G)$，其特征在于G的每有限维表示$\pi$有$\Theta_G([\pi ]) =\chi_{\pi}$。

如果 H 是 G 的子群，则与群 G 和 H 关联的同态 $\Theta_G$ 和 $\Theta_H$ 与运算 Res$^G_H$ 和 Ind$^G_H$ 相容的（VIII、p. 402 和VIII、p. 404、命题 3)。

假设 G 是两个群中的乘积 $G'\times G''$。由VIII、p. 213、注 2，存在从$R_K(G')\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(G'')$到群$R_K(G'\times G'')$的$\mathbf{Z}$线性映射$\kappa$，其特征为关系$\kappa ([\pi ']\otimes [\pi '']) = [\pi '\pi '']$ $\pi '$（分别$\pi ''$）有限维表示或$G'$（分别$G''$）和$\pi '\pi ''$外部张量积（VIII、p. 400、例5）。是环同态。如果域 K 是代数闭的，则映射 $\kappa$ 是同构 (VIII, p. 213, 注 2)。

假设 G 是两个群中的乘积 $G'\times G''$。用$\psi$同态表示从$\mathscr{Z}_K(G')\otimes_K\mathscr{Z}_K(G'')$到$\mathscr{Z}_K(G)$发送$f'\otimes f''$到函数$(g', g'')\mapsto f'(g')f''(g'')$。以下图表通勤：

$R_K(G')\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(G'')^{\kappa}$ // $R_K(G)$

$\mathscr{Z}_K(G')\otimes_K\mathscr{Z}_K(G'')^{\psi}$/$/\mathscr{Z}_K(G)$。

5. 傅里叶反演公式

对于这个截面的余数，我们假设群G是有限的，并且K是代数闭域，其特征不是G的除阶，因此K的元素$|G|$不是零。

代数 K[G] 是半单 (马施克定理) 并且是有限维的。用简单 K[G]-模的类的 $\widehat{G}$ 集合表示。对于 G 的每个 $\lambda \in \widehat{G}$，选择线性表示 $(V_{\lambda}, \pi_{\lambda})$，使得关联的 K[G]-模有类 $\lambda$。 集合 $\widehat{G}$ 是有限的，向量空间 $V_{\lambda}$ 是有限维的（VIII、p. 141、例）。对于任意$\lambda \in \widehat{G}$，用表示$\pi_{\lambda}$中的$d_{\lambda}$次数表示，即K-向量空间$V_{\lambda}$中的维数，并用$\chi_{\lambda}$表示其特征标。

由 $F(\widehat{G})$ 乘积代数 $\prod_{\lambda \in \widehat{G}} \operatorname{End}_K(V_\lambda)$ 表示，并由 $\overline{\mathscr{F}}$ 映射表示，从 $K[G]$ 到 $F(\widehat{G})$ 由 $\overline{\mathscr{F}}(a) = (\pi_\lambda(a))_{\lambda \in \widehat{G}}$ 定​​义。由于域 $K$ 是代数闭集，因此 映射 $\overline{\mathscr{F}}$ 是代数同构（前述）。

对于每个$\lambda \in \widehat{G}$，代数$\operatorname{End}_K(V_\lambda)$的维数是$d_\lambda^2$； 代数 $K[G]$ 是 $\operatorname{Card}(G)$。因此我们有关系

用$\tau$表示代数$K[G]$中的迹线；通过定义，$K[G]$的元素$a$的迹$\tau(a)$就是$K[G]$的自同态$x \mapsto ax$的迹（III, §7, No. 7，p. 515）。设$a = \sum_{g \in G} a_g g$为$K[G]$的元素；通过公式 (2)，每 $g \in G$ 就有 $\tau(ag^{-1}) = |G| a_g$，因此关系

用$\widehat{\tau}$表示代数$F(\widehat{G})$中的轨迹。设$A = (A_\lambda)_{\lambda \in \widehat{G}}$为$F(\widehat{G})$的元素；我们有 (cf. III, §9, No. 3, p. 545, 例 3)

由于映射 $\overline{\mathscr{F}}$ 是 $K$ 代数同构，所以我们有 $\widehat{\tau} \circ \overline{\mathscr{F}} = \tau$，因此

对于每个 $a \in K[G]$，即

因此，通过VIII、p. 399的(2)，对于$g \in G$，我们有

对于$a \in K[G]$，关系 (9) 取以下形式：

由此可见，对于 $F(\widehat{G})$ 中的每一个元素 $A = (A_\lambda)_{\lambda \in \widehat{G}}$，我们有

（“傅里叶反演公式”）。

对于$\mu\in \widehat{G}$，用$j_\mu:$End$_K(V_\mu)\longrightarrow \prod_{\lambda\in\widehat{G}}$End$_K(V_{\lambda})$映射表示，使得$j_\mu(u) = (v_{\lambda})$，其中$v_{\lambda}= 0$如果$\lambda \not=\mu$和$v_\mu=u$。到公式 (14)，我们有

(15)$\overline{\mathscr{F}}^{-1}(j_\mu(u)) =|G|^{-1}d_\mu\sum_{g\in G}$Tr($u\pi_\mu(g^{-1})$)$g$。

代数 $F(\widehat{G}) =\prod_{\lambda\in\widehat{G}}$的中心结束$_K(V_{\lambda})$由$(a_{\lambda}1_{V_{\lambda}})_{\lambda\in\widehat{G}}$族组成，其中$(a_{\lambda})$是K的元素的族。它是像乘以中心的$\overline{\mathscr{F}}$ 代数K[G]。因此中心具有基 $(e_{\lambda})_{\lambda\in\widehat{G}}$，其特征为关系

对于 $\lambda , \mu\in \widehat{G}$，其中 $\delta_{\lambda \mu}$ 是克罗内克三角洲函数。到公式 (15)，对于每$\mu\in \widehat{G}$，我们有，

这些元素满足关系

(18)$\sum_{\lambda\in\widehat{G}}e_{\lambda}= 1,e^2_\mu=e_\mu$、$e_\mu e_{\nu}= 0$

对于所有$\mu, \nu \in \widehat{G}$使得$\mu\not=\nu$；它们是 Z(K[G]) 的不可分解幂等 (VIII, p. 147, 命题 15)

6. Schur正交关系

我们保留之前的小节的记号。令$\lambda$为$\widehat{G}$的元素，令$u$和$v$为End$_K(V_{\lambda})$的元素；到公式 (10)，我们有

$\widehat{\tau}(j_{\lambda}(u)j_{\lambda}(v)) =d_{\lambda}$Tr($uv$)。从 $\tau =\widehat{\tau}\circ \mathscr{F}$ 开始，我们从公式推出 (2) 和 (15) 关系

$d^2_{\lambda}|G|^{-1}\sum_{g\in G}$Tr($u\pi_{\lambda}(g)$)Tr($v\pi_{\lambda}(g^{-1})$)$=d_{\lambda}$Tr($uv$)。

我们之前观察到域 K 中的 $d_{\lambda}.1\not= 0$；由此可知 (20) $|G|^{-1}\sum_{g\in G}$ Tr($u\pi_{\lambda}(g)$) Tr($v\pi_{\lambda}(g^{-1})$) $=d^{-1}_{\lambda}$ Tr($uv$)。

让我们将这个关系应用到$u$和$v$有秩$\leqslant 1$的情况；我们得到 (21) $|G|^{-1}\sum_{g\in G}\langle x^*, \pi_{\lambda}(g)x\rangle \langle y^*, \pi_{\lambda}(g^{-1})y\rangle =d^{-1}_{\lambda}\langle x^*, y\rangle \langle y^*, x\rangle$

对于$V_{\lambda}$中的$x,y$和$V_{\lambda}$的对偶$V^*_{\lambda}$中的$x^*, y^*$。

对于每个$\lambda \in \widehat{G}$，令$(e_{\lambda ,j})_{1\leqslant j\leqslant d_{\lambda}}$为$V_{\lambda}$的基；相对于该基用$V_{\lambda}$自同态$\pi_{\lambda}(g)$$(\pi^{\lambda}_{ij}(g))$矩阵表示。如果我们用 $V^*_{\lambda}$ 对偶 $(e_{\lambda ,j})$ 的$(e^*_{\lambda ,i})_{1\leqslant i\leqslant d_{\lambda}}$ 基表示，那么我们有 $\pi^{\lambda}_{ij}(g) =\langle e^*_{\lambda ,i}, \pi_{\lambda}(g)e_{\lambda ,j}\rangle$，因此 (22) $|G|^{-1}\sum_{g\in G}\pi_{ij}^{\lambda}(g)\pi^{\lambda}_{k\ell}(g^{-1}) =d^{-1}_{\lambda}\delta_{i\ell}\delta_{jk}$。