习题 17, § 21

令C为G的共轭类，且为次数$d$的G的$\pi$不可约表示。

a) 证明K的元素$d^{-1}$卡(C)$\chi (C)$在$\mathbf{Z}$上是积分（原因如VIII、p. 415的命题9证明）。

b) 假设$d$和Card(C)互质整数。证明元素 $d^{-1}\chi (C)$ 对 $\mathbf{Z}$ 是积分。

$*$c) 此外，假设$K =\mathbf{C}$。证明$d^{-1}\chi (C)$超过$\mathbf{Q}$的所有共轭都有绝对的值$\leqslant 1$。从习题 16, c) 推出 $|\chi (C)|$ 为零或等于 $d$。 结论，如果$\chi (C)$不是零，那么对于每个$x\in C$，$\pi (x)$就是位似。特别是，如果 $\pi$ 是忠实的并且 C 没有减少到 1 元素，那么我们有 $\chi (C) = 0.*$