习题 13, § 21

设$\mathscr{H}$为G的子群的集合。

a) 证明以下性质是等价的：

(i) 子群属于到$\mathscr{H}$的共轭到并等于G。

(ii) G 的每个特征标都是线性组合，由子群属于到$\mathscr{H}$的特征标导出有理系数特征标。

（从VIII、p. 412的命题 6 推导出性质 (ii) 等价于限制同态 $\mathscr{Z}_K(G)\rightarrow \bigoplus_{H\in\mathscr{H}}\mathscr{Z}_K(H).$的单射性）

b) 设$\mathscr{C}$为G的循环子群的集合；显然它有性质 (i)。对于G的每个循环子群C，我们在C上用$\varphi_C$函数表示，在C的生成元上用值卡(C)表示，在另一个元素上用0表示。证明等式卡(G)$=\sum_{C\in\mathscr{C}}$工业$^G_C(\varphi_C)$。

c) 令$C\in \mathscr{C}$。证明特征标生成$\mathscr{Z}_K(G)$的函数$\varphi_C$属于到子群$R_K(G)$（由归纳对C的阶的原因，使用b））。

d) 设$\chi$为不可约表示G的特征标。证明等式$\chi =$Card(G)$^{-1}\sum_{C\in\mathscr{C}}$Ind$^G_C(\varphi_C$Res$^G_C(\chi ))$，这给出了性质的显式公式 (ii) a).