习题 17, § 14

保持习题的记号为15，并假设V在D上是有限维的。如果A的自同构的群G满足以下条件，则称为伽罗瓦：

(i) $(G : G_0)$ 和 $[U_0(G) : Z]$ 是有限的。

(ii) 环 $U_0(G)$ 很简单。

(iii) 对于$U_0$(G)中的每可逆元$s$，自同构$a\mapsto sas^{-1}$属于至$G_0$。

令G为群。

a) Prove that 映射 $H\mapsto A^H$ is 递减双射 from 集合 of Galois 子群 of G to 集合 of simple 子环 of A that 包含于 $A^G$ and whose commutant $B'_0$ in A很简单。 （从习题 15，f）和g）推导出这个映射是明确定义的和内射的。 Let B be a simple 子环 of 满足条件 above, and let H be 群 of 自同构 of A fixing B. Use 习题 14, c) and 16 to prove that B is Galois and then 命题 12 of VIII, p. 205证明我们有$B = A^H$并且H是伽罗瓦。）

b) Let $B_1$ and $B_2$ be simple 子环 of 包含于 $A^G$ whose commutants in A are simple, and let $\varphi$ be 同构 from $B_1$ to $B_2$ fixing $A^G$.证明G存在元素，重合与$\varphi$在$B_1$上。

（首先观察我们有 long$_{B_1}(V) =$ long$_{B_2}$(V)，使用等式 $h(B_1,A^G) =h(B_2,A^G)$。令 W 为集合 of 元素 $f$ of Ω 满足 $f(bx) =\varphi (b)f(x)$ for $b\in B_1,x\in V$。证明 W 是不减少到 0，然后将习题 14, c) 应用于它，以表明它包含非零的半线性映射 $w$。证明如果 S 是 V 的简单 DB$_1$ 子模块，且不包含在 Ker $w$ 中，则从 S 到其像 $w$ 诱导双射，并且我们有 long$_{B_1}(S) =$ long$_{B_2}(w(S))$（使用习题） 16，b))。 推理如本地所示。前述，结论 W 包含半线性双射重合以及 S 上的 $w$。）

c) 将 a) 和 b) 的结果专门用于以下情况：

(i) $G = G_0$ (cf. VIII, p. 259, 定理 5)。

(ii) $G_0=\{1\}$。 （证明 A 的自同构的每个有限群都是伽罗瓦，并且包含 $A^G$ 的每个简单子环都承认 Z 是 A 中的交换律。）

(iii) V 有维数 1，因此 A 域同构于 $D^o$。 （环$A^G$是域，包含于$A^G$的每一个子域都有域作为交换子。研究D是交换律的具体情况（cf.V, §10, No. 7）。）